Ungleichung mit Arg < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z, die folgende Ungleichungen erfüllen:
a) [mm] |\bruch{z - 1}{z + 1}| \le [/mm] 1
b) |arg((1 + i)z)| [mm] \le \bruch{\pi}{2} [/mm] |
Also so weit bin ich
a) [mm] |\bruch{x + i(y-1)}{x + i(y+1)}| \gdw |\bruch{[x + i(y - 1)] [x - i(y + 1)]}{x^2 + (y + 1)^2}| \le [/mm] 1
[mm] \gdw [/mm] |[x + i(y - 1)] [x - i(y + 1)]| [mm] \le |x^2 [/mm] + (y + [mm] 1)^2|
[/mm]
[mm] \gdw |x^2 [/mm] - 2xi + [mm] y^2 [/mm] + 2y - 1| [mm] \le |x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + 2y + 1|
[mm] \gdw [/mm] |-2xi| [mm] \le [/mm] 2
[mm] \gdw [/mm] 2xi [mm] \le [/mm] 2
[mm] \gdw [/mm] xi [mm] \le [/mm] 1
Ist das so richtig errechnet? Und wenn ja. Wie sieht das ganze dann gezeichnet aus? alle xi die kleiner oder gleich 1 sind. Also eine schraffierte linie bei y = 1 und alles was darunter liegt schraffiert?
Jetzt zu b)
|arg((1 + i)z)| [mm] \le \bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] |arg((1 + i)(x + iy))| [mm] \le \bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] |arg(x - y + i(x + y))| [mm] \le \bruch{\pi}{2}
[/mm]
Hier verlassen mich schon meine komplexen Kräfte. Es werden also alle Zahlen z gesucht deren Betrag des Winkels kleiner oder gleich [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] ist und der Form x - y + i(x + y) entspricht?
Oke, aber wie komm ich da jetzt auf eine Lösung?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 So 02.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z, die folgende
> Ungleichungen erfüllen:
>
> a) [mm]|\bruch{z - 1}{z + 1}| \le[/mm] 1
>
> b) |arg((1 + i)z)| [mm]\le \bruch{\pi}{2}[/mm]
> Also so weit bin
> ich
>
> a) [mm]|\bruch{x + i(y-1)}{x + i(y+1)}| \gdw |\bruch{[x + i(y - 1)] [x - i(y + 1)]}{x^2 + (y + 1)^2}| \le[/mm]
> 1
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] z-1 = x+iy -1 [/mm] und nicht [mm] x+i(y-1) [/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] |[x + i(y - 1)] [x - i(y + 1)]| [mm]\le |x^2[/mm] + (y + [mm]1)^2|[/mm]
>
> [mm]\gdw |x^2[/mm] - 2xi + [mm]y^2[/mm] + 2y - 1| [mm]\le |x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + 2y + 1|
>
> [mm]\gdw[/mm] |-2xi| [mm]\le[/mm] 2
Dieser Schritt ist Unsinn!
Am einfachsten ist es, zunächst mit dem Nenner zu multiplizieren (den Fall z=-1 kann man ja von vorneherein ausschließen):
[mm] \left|\bruch{z - 1}{z + 1}\right| \le 1 \gdw |z-1| \le |z+1| [/mm]
Dann quadrieren:
[mm] |z-1| \le |z+1| \gdw |z-1|^2 \le |z+1|^2 [/mm]
oder auch: [mm] (x-1)^2+y^2 \le (x+1)^2 +y^2 [/mm]
> Jetzt zu b)
>
> |arg((1 + i)z)| [mm]\le \bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] |arg((1 + i)(x + iy))| [mm]\le \bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] |arg(x - y + i(x + y))| [mm]\le \bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> Hier verlassen mich schon meine komplexen Kräfte. Es
> werden also alle Zahlen z gesucht deren Betrag des Winkels
> kleiner oder gleich [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] ist und der Form x - y +
> i(x + y) entspricht?
Soweit richtig, aber du denkst nicht weit genug. Wenn der Betrag des Winkels [mm] $\le \pi/2$ [/mm] ist, dann liegt der Winkel im abgeschlossenen Intervall [mm] $[-\pi/2,+\pi/2]$, [/mm] dass heisst, dass die komplexe Zahl $x - y + i(x + y)$ nicht in der linken Halbebene liegt.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Mein Fehler.
Die Aufgabe lautet [mm] |\bruch{z - i}{z + i}| \le [/mm] 1
Aber die Rechenwege sind ja die selben. Bin dann also bei:
[mm] (x^2 [/mm] + (y - [mm] 1)^2) \le (x^2 [/mm] + (y + [mm] 1)^2)
[/mm]
Und nun. das sind ja Kreisfunktionen, allerdings fehlt der radius um den Kreis zu zeichnen. Wie fahre ich fort?
Und bei b)
Ist das dann die Lösung? Also alle Zahlen rechts von der Imz- Achse?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 So 02.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Mein Fehler.
>
> Die Aufgabe lautet [mm]|\bruch{z - i}{z + i}| \le[/mm] 1
>
> Aber die Rechenwege sind ja die selben.
Diesen Satz verstehe ich nicht
> Bin dann also bei:
>
> [mm](x^2 + (y - 1)^2 \le (x^2 + (y + 1)^2[/mm]
>
> Und nun. das sind ja Kreisfunktionen, allerdings fehlt der
> radius um den Kreis zu zeichnen. Wie fahre ich fort?
Löse die Gleichung: multipliziere aus und bestimme die Werte von x und y, die sie erfüllen.
>
> Und bei b)
>
> Ist das dann die Lösung? Also alle Zahlen rechts von der
> Imz- Achse?
Nein. Lies nochmal, was ich geschrieben habe: diejenigen Zahlen $x+iy$, sodass die komplexe Zahl $ x - y + i(x + y) $ nicht in der linken Halbebene liegt, genauer gesagt, nicht links von der imaginären Achse.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Oke, durch das ausmultiplizieren steht dann da:
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - 2y + 1 [mm] \le x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + 2y + 1
Wenn ich jetzt nach y auflöse komm ich, da sich das meiste rauskürzt irgendwann auf y [mm] \ge [/mm] 0
Also erfüllen alle y Werte die größer als 0 sind diesen Term? d.h. alle Punkte oberhalb der x-Achse?
Und nochmal zu b)
Dann sind alle Zahlen mit positiven Realteil gesucht? das hab ich doch geschrieben. Alle punkte rechts von der "Imaginär-Achse" Ich verstehe nur nicht ob das jetzt die Lödung ist oder ob ich da noch weitere einschränkungen treffen muss.
|
|
|
| |
|
Hallo Mammutbaum,
> Oke, durch das ausmultiplizieren steht dann da:
>
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] - 2y + 1 [mm]\le x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + 2y + 1
>
> Wenn ich jetzt nach y auflöse komm ich, da sich das meiste
> rauskürzt irgendwann auf y [mm]\ge[/mm] 0
>
> Also erfüllen alle y Werte die größer als 0 sind diesen
> Term? d.h. alle Punkte oberhalb der x-Achse?
Die x-Achse gehört dazu, da [mm]y\ge0[/mm].
>
> Und nochmal zu b)
>
> Dann sind alle Zahlen mit positiven Realteil gesucht? das
> hab ich doch geschrieben. Alle punkte rechts von der
> "Imaginär-Achse" Ich verstehe nur nicht ob das jetzt die
> Lödung ist oder ob ich da noch weitere einschränkungen
> treffen muss.
Für den Realteil der komplexen Zahl [mm]\left(1+i\right)*z[/mm]
hast Du die Einschränkung, dass dieser größer
oder gleich Null sein muss.
Und das kannst Du in Form einer Ungleichung angeben:
[mm]x-y \ge 0[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 So 02.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Oke, durch das ausmultiplizieren steht dann da:
>
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] - 2y + 1 [mm]\le x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + 2y + 1
Nein, das steht da nicht, sondern [mm]x^2 + y^2 - 2\red{x} + 1 \le x^2 + y^2 + 2\red{x} + 1[/mm].
> Und nochmal zu b)
>
> Dann sind alle Zahlen mit positiven Realteil gesucht? das
> hab ich doch geschrieben. Alle punkte rechts von der
> "Imaginär-Achse"
Nein. Alle Punkte, die nicht links von der imaginäreren Achse liegen! Du lässt einfach die Punkte auf der imaginären Achse weg.
> Ich verstehe nur nicht ob das jetzt die
> Lödung ist oder ob ich da noch weitere einschränkungen
> treffen muss.
Das ist nicht die Lösung, das ist die Bedingung für die Zahl $(x-y)+i(x+y)$. Und wie Mathepower schon schrieb, ergibt sich daraus die Bedingung [mm] $x-y\ge [/mm] 0$ an z.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 So 02.01.2011 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z, die folgende
> Ungleichungen erfüllen:
>
> a) [mm]|\bruch{z - 1}{z + 1}| \le[/mm] 1
>
> b) |arg((1 + i)z)| [mm]\le \bruch{\pi}{2}[/mm]
> Also so weit bin
> ich
>
> a) [mm]|\bruch{x + i(y-1)}{x + i(y+1)}| \gdw |\bruch{[x + i(y - 1)] [x - i(y + 1)]}{x^2 + (y + 1)^2}| \le[/mm]
> 1
Hallo,
das ist falsch. Es geht um den Term
[mm] |\bruch{(x-1) + iy}{(x+1) + iy}| [/mm]
Gruß Abakus
>
> [mm]\gdw[/mm] |[x + i(y - 1)] [x - i(y + 1)]| [mm]\le |x^2[/mm] + (y + [mm]1)^2|[/mm]
>
> [mm]\gdw |x^2[/mm] - 2xi + [mm]y^2[/mm] + 2y - 1| [mm]\le |x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + 2y + 1|
>
> [mm]\gdw[/mm] |-2xi| [mm]\le[/mm] 2
>
> [mm]\gdw[/mm] 2xi [mm]\le[/mm] 2
>
> [mm]\gdw[/mm] xi [mm]\le[/mm] 1
>
> Ist das so richtig errechnet? Und wenn ja. Wie sieht das
> ganze dann gezeichnet aus? alle xi die kleiner oder gleich
> 1 sind. Also eine schraffierte linie bei y = 1 und alles
> was darunter liegt schraffiert?
>
> Jetzt zu b)
>
> |arg((1 + i)z)| [mm]\le \bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] |arg((1 + i)(x + iy))| [mm]\le \bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] |arg(x - y + i(x + y))| [mm]\le \bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> Hier verlassen mich schon meine komplexen Kräfte. Es
> werden also alle Zahlen z gesucht deren Betrag des Winkels
> kleiner oder gleich [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] ist und der Form x - y +
> i(x + y) entspricht?
>
> Oke, aber wie komm ich da jetzt auf eine Lösung?
|
|
|
|
