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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Mi 30.04.2008 | | Autor: | Norman |
| Aufgabe | Lösen Sie folgende Ungleichung.
Für welche x [mm] \varepsilon \IR [/mm] gilt:
|(2x - |x - 5|)*x [mm] \le [/mm] 10 |
Ich weis ja das ich verschiedene Fälle betrachten muss.
Ich habe für positive x diese gleichung:
(2x - |x - 5)*x [mm] \le [/mm] 10
Diese habe ich zu dieser umgestellt:
x²-5x [mm] \le [/mm] 10 was ja dann
x²-5x-10 [mm] \le [/mm] 0 ist.
Das habe ich dann mit Hilfe der p-q gelöst.
Als Ergebniss habe ich dann ca.:
[mm] x\approx [/mm] 6,5
und [mm] x\approx [/mm] -1,5
Aber das Ergebnis bzw. die Grenzen des Intervalls stimmen keines Falls. Was habe ich denn da falsch gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Mi 30.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hier hast du ja 2 Beträge dabei, also brauchst du für beide Fällte Fallunterscheidungen.
[mm] |2x-|x-5||*x\le10
[/mm]
Fangen wir mit dem inneren Teil an.
Fall 1: [mm] x-5\ge0 \Rightarrow5>x
[/mm]
Dann wird
[mm] |2x-|x-5||*x\le10
[/mm]
zu [mm] |2x-(x-5)|*x\le10
[/mm]
[mm] \gdw |x+5|*x\le [/mm] 10
Da x>5, ist x+5 auch grösser als Null, also:
[mm] |x+5|*x\le [/mm] 10
[mm] \gdw (x+5)*x\le [/mm] 10
[mm] \gdw x²+5x-10\ge0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] ...
Fall 2:
[mm] x-5<0\Rightarrow5>x
[/mm]
Dann wird
[mm] |2x-|x-5||*x\le10
[/mm]
zu [mm] |2x-(-(x-5))|*x\le10
[/mm]
[mm] \gdw |2x+(x+5)|*x\le10
[/mm]
[mm] \gdw |3x+5|*x\le10
[/mm]
Da x<5, kann es sein, dass 3x+5 grösser oder kleiner als Null werden. Also brauchst du jetzt noch zusätzlich diese Fallunterscheidung:
Also Fall 2.1: x<5 und 3x+5>0 [mm] \Rightarrow x>-\bruch{5}{3}:
[/mm]
Also ingesamt: [mm] -\bruch{5}{3}
Dann wird:
[mm] |3x+5|*x\le10
[/mm]
zu
[mm] (3x+5)*x\le10
[/mm]
[mm] \gdw 3x²+5x-10\le0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] ...
Fall 2.2:
x<5 und 3x+5<0 [mm] \Rightarrow x<-\bruch{5}{3}:
[/mm]
Also ingesamt: [mm] -\bruch{5}{3}
Dann wird:
[mm] |3x+5|*x\le10
[/mm]
zu
[mm] -(3x+5)*x\le10
[/mm]
[mm] \gdw -3x²-5x-10\le0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] ...
Die Endergebnisse dieser Drei Rechnungen musst du noch mit dem jeweiligen Fall "abgleichen", also ob das Ergebnis auch zum Fall "passt"
Marius
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