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Hi,
ich habe eine Ungleichung zu lösen, bei der ich keinen Schritt weiter komme, vielleicht kann mir ja jemand auf die Sprünge helfen. Mein Problem ist, dass ich vorher noch nie mit Fakultäten gerechnet habe. Ich habe mich bereits über Fakultäten informiert, aber komme nicht zu einer gescheiten Lösung.
Die Ungleichung lautet:
[mm] 4^{2n} [/mm] - 4n! + [mm] (n!)^{2} [/mm] > [mm] (2n)!*\wurzel{2n}
[/mm]
PS: Alles auf die Linke bzw. rechte Seite bringen und dann die beweisen, dass größer bzw. kleiner 1 (wenn man dividiert) oder 0 (wenn man subtrahiert) ist habe ich auch schon versucht
Vielleicht kann mir ja jemand weiter helfen...
LG
Dr.Prof.Niemand
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Di 10.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Hi,
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> ich habe eine Ungleichung zu lösen, bei der ich keinen
> Schritt weiter komme, vielleicht kann mir ja jemand auf die
> Sprünge helfen. Mein Problem ist, dass ich vorher noch nie
> mit Fakultäten gerechnet habe. Ich habe mich bereits über
> Fakultäten informiert, aber komme nicht zu einer
> gescheiten Lösung.
> Die Ungleichung lautet:
> [mm]4^{2n}[/mm] - 4n! + [mm](n!)^{2}[/mm] > [mm](2n)!*\wurzel{2n}[/mm]
Hallo,
auf einen Teil der linke Seite könnte man die quadratische Erängung anwenden.
- 4n! + [mm](n!)^{2}[/mm]=-4+4 - 4n! + [mm](n!)^{2}[/mm]= -4 + [mm] (n!-2)^2
[/mm]
Aus der Ungleichung wird somit
[mm]4^{2n}[/mm] - 4 [mm] +(n!-2)^{2}>[/mm] [mm](2n)!*\wurzel{2n}[/mm]
Ich habe den Eindruck, dass für kleine n der Term [mm]4^{2n}[/mm] - 4 schon ausreicht, um den rechten Term zu übertreffen.
Für größere n dürfte hingegen [mm] (n!-2)^{2} [/mm] ausreichend groß werden.
Wenn du keine besseren Tipps bekommst, kannst du es ja mal auf dieser Schiene probieren.
Gruß Abakus
>
> PS: Alles auf die Linke bzw. rechte Seite bringen und dann
> die beweisen, dass größer bzw. kleiner 1 (wenn man
> dividiert) oder 0 (wenn man subtrahiert) ist habe ich auch
> schon versucht
>
> Vielleicht kann mir ja jemand weiter helfen...
>
> LG
> Dr.Prof.Niemand
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Das ist ein guter Ansatz, ich habe versucht damit irgendwie klar zu machen, dass die Ungleichung wahr wird, aber bei mir geht es gegenteilig. Die Ungleichung wird dann bei mir nicht erfüllt. Hat jemand vllt. einen anderen Lösungsansatz...
Dr.Prof.Niemand
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Di 10.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Das ist ein guter Ansatz, ich habe versucht damit irgendwie
> klar zu machen, dass die Ungleichung wahr wird, aber bei
> mir geht es gegenteilig. Die Ungleichung wird dann bei mir
> nicht erfüllt. Hat jemand vllt. einen anderen
> Lösungsansatz...
>
> Dr.Prof.Niemand
Mein Fehler. Ich war darauf aus, die Gültigkeit dieser Ungleichung allgemein nachzuweisen.
Eine Wertetabelle zeigt aber, dass sie nur bis n=3 gilt, danach wird der rechte Term größer.
Dass es ab n=4 keine Lösungen mehr gibt, wäre jetzt der Beweis für dich...
Gruß Abakus
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Du hast Recht, also habe ich bei der Umformung irgendwo einen Fehler gemacht, die eigentliche Ungleichung war:
[mm] \bruch{\produkt_{k=1}^{n}\bruch{2k}{2k-1}}{\wurzel{n}} [/mm] > [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Ich habe diese Ungleichung mithilfe von Fakultäten umgestellt und bin damit auf die Ungleichung gekommen, die in der Frage war.
Hast du vllt. eine Idee, diese Ungleichung zu beweisen.
(Sorry, wegen der falschen Ungleichung davor. Dachte es ist richtig und so dann einfacher zu lösen)
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Hallo Niemand (ich lasse die falsch angeordneten Titel mal weg  ),
das sieht schon anders aus...
> [mm] \bruch{\produkt_{k=1}^{n}\bruch{2k}{2k-1}}{\wurzel{n}}>\wurzel{2}
[/mm]
oder [mm] \produkt_{k=1}^{n}\bruch{2k}{2k-1}>\wurzel{2n}
[/mm]
Die linke Seite läse sich "ausgeschrieben" ja so:
[mm] \bruch{2}{1}*\bruch{4}{3}*\bruch{6}{5}*\cdots*\bruch{2n}{2n-1}
[/mm]
...und ließe sich z.B. so weiter bearbeiten:
[mm] \bruch{2}{1}*\bruch{4}{3}*\bruch{6}{5}*\cdots*\bruch{2n}{2n-1}=\bruch{2}{1}*\blue{\bruch{2}{2}}*\bruch{4}{3}*\blue{\bruch{4}{4}}*\bruch{6}{5}*\blue{\bruch{6}{6}}*\cdots*\bruch{2n}{2n-1}*\blue{\bruch{2n}{2n}}=\bruch{2^{2n} (n!)^2}{(2n)!}
[/mm]
Kommst Du damit weiter?
Grüße
reverend
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So ähnlich hatte ich es auch durch Doppelinduktion, aber diese Stelle macht mir ja die Probleme...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 12.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:44 Mi 11.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> oder [mm]\produkt_{k=1}^{n}\bruch{2k}{2k-1}>\wurzel{2n}[/mm]
>
> Die linke Seite
> [...]
> [mm]...=\bruch{2^{2n} (n!)^2}{(2n)!}[/mm]
Damit ist die Ungleichung aequivalent zu [mm] $2^{2 k} [/mm] > [mm] \binom{2 n}{n} \sqrt{2 n}$. [/mm] Hier sieht man, dass die Wurzel hier ziemlich wichtig ist: ersetzt man sie durch $2 n$, so hat man [mm] $2^{2 k} [/mm] = 2 + [mm] \sum_{k=1}^{2 n - 1} \binom{2 n}{k} \le [/mm] 2 + 2 (n - 1) [mm] \cdot \binom{2 n}{n}$, [/mm] und wenn $n$ nicht gerade sehr sehr klein ist, ist dies echt kleiner als $2 n [mm] \binom{2 n}{n}$.
[/mm]
Was allerdings eventuell noch weiterhilft: es gilt ja [mm] $\binom{2 (n + 1)}{n + 1} [/mm] = [mm] \binom{2 n + 1}{n + 1} [/mm] + [mm] \binom{2 n + 1}{n} [/mm] = [mm] \binom{2 n}{n + 1} [/mm] + 2 [mm] \binom{2 n}{n} [/mm] + [mm] \binom{2 n}{n - 1} \le [/mm] 4 [mm] \binom{2 n}{n}$. [/mm] Damit bekommt man [mm] $2^{2 (n + 1)} [/mm] = 4 [mm] \cdot 2^{2 n} [/mm] > 4 [mm] \binom{2 n}{n} \sqrt{2 n} \ge \binom{2 (n + 1)}{n} \sqrt{2 n}$. [/mm] Das ist zwar nicht ganz das was man haben will, aber eventuell bekommt man mit einer genaueren Abschaetzung von [mm] $\binom{2 (n + 1)}{n + 1}$ [/mm] durch ein kleineres Vielfaches von [mm] $\binom{2 n}{n}$ [/mm] etwas mehr hin. Der Unterschied zwischen [mm] $\sqrt{2 n}$ [/mm] und [mm] $\sqrt{2 (n + 1)}$ [/mm] ist ja nicht sehr gross; es gilt ja [mm] $\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{2 (n + 1)}}{\sqrt{2 n}} [/mm] = 1$.
LG Felix
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