Ungleichung, Wurzel < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Do 05.11.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
ich stehe gerade irgendwie auf'm Schlauch. Gibt es eine Ungleichung der Form (Es seien [mm] $x_1,\ldots,x_m\in\IR$ [/mm] und [mm] $m\in\IN$)
[/mm]
[mm] \sum_{i=1}^{m}\left(x_i^2\right)^{\frac{1}{2}}\leqslant C\left(\sum_{i=1}^{m}x_i^2\right)^{\frac{1}{2}}
[/mm]
Und wenn ja, wie genau sieht die Konstante $C$ aus?
Danke schon einmal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:25 Do 05.11.2009 | | Autor: | Denny22 |
Die Ungleichung gilt doch für $C:=m$, oder etwa nicht?
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Hallo Denny22,
[mm] \sum_{i=1}^{m}\left(x_i^2\right)^{\frac{1}{2}}\red{\geqslant} C\left(\sum_{i=1}^{m}x_i^2\right)^{\frac{1}{2}}
[/mm]
gibt's natürlich mit C=1.
Aber umgekehrt? Da vermute ich eher [mm] C=\wurzel{m}, [/mm] nur finde ich im Moment weder Beleg noch Beweis.
lg
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 Do 05.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo an alle,
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> ich stehe gerade irgendwie auf'm Schlauch. Gibt es eine
> Ungleichung der Form (Es seien [mm]x_1,\ldots,x_m\in\IR[/mm] und
> [mm]m\in\IN[/mm])
>
> [mm]\sum_{i=1}^{m}\left(x_i^2\right)^{\frac{1}{2}}\leqslant C\left(\sum_{i=1}^{m}x_i^2\right)^{\frac{1}{2}}[/mm]
>
> Und wenn ja, wie genau sieht die Konstante [mm]C[/mm] aus?
Hallo,
wenn [mm] x_1=1 [/mm] ist und alle anderen [mm] x_i [/mm] Null sind, gilt
[mm]\sum_{i=1}^{m}\left(x_i^2\right)^{\frac{1}{2}}=1*\left(\sum_{i=1}^{m}x_i^2\right)^{\frac{1}{2}}[/mm]
Der Faktor C darf nicht kleiner als 1 sein.
Gruß Abakus
>
> Danke schon einmal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Do 05.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Sind [mm] a_1, a_2, [/mm] ..., [mm] a_m, b_1, b_2, [/mm] ..., [mm] b_m \in \IR, [/mm] so gilt die berühmte Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
(*) [mm] $\summe_{i=1}^{m}|a_ib_i| \le (\summe_{i=1}^{m}a_i^2)^{1/2}*(\summe_{i=1}^{m}b_i^2)^{1/2}$
[/mm]
Wegen [mm] $(x_i^2)^{1/2}= |x_i|$ [/mm] folgt aus (*) mit [mm] a_i [/mm] = [mm] x_i [/mm] und [mm] b_i [/mm] = 1:
$ [mm] \sum_{i=1}^{m}\left(x_i^2\right)^{\frac{1}{2}}\leqslant \wurzel{m }\left(\sum_{i=1}^{m}x_i^2\right)^{\frac{1}{2}} [/mm] $
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:25 Do 05.11.2009 | | Autor: | Denny22 |
Ja genau. Mit Cauchy-Schwarz klappt der Nachweis! Viele Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Do 05.11.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
da hätte ich zur Abwechslung auch mal drauf kommen können. ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:36 Do 05.11.2009 | | Autor: | Denny22 |
Ich habe mir noch eine zweite Beweismöglichkeit überlegt:
Aus der Monotonie der Wurzelfunktion erhalten wir für [mm] $j=1,\ldots,m$ [/mm] $m$-Ungleichungen
[mm] $0\leqslant\sqrt{x_j^2}\leqslant\sqrt{\sum_{i=1}^{m}x_i^2}$
[/mm]
Addieren wir nun diese $m$-Ungleichungen zusammen, so erhalten wir
[mm] $0\leqslant\sum_{j=1}^{m}\sqrt{x_j^2}\leqslant\sum_{j=1}^{m}\sqrt{\sum_{i=1}^{m}x_i^2}=m\sqrt{\sum_{i=1}^{m}x_i^2}$
[/mm]
Wie man erkennt, erhalten wir hier die Konstante $C=m$. Damit ist die Konstante [mm] $C=\sqrt{m}$ [/mm] (mithilfe von Cauchy-Schwarz) besser.
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