Ungleichung EW und Varianz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Do 29.05.2014 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Es sei ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum gegeben und X: Omega --> IR ein Zufallsvariable mit Var[X] [mm] \le \infty. [/mm] Zeige für alle a [mm] \in [/mm] IR:
[mm] E[|X-a|^2] \ge [/mm] Var [x] gilt. |
Hallo.
Die linke Seite lässt sich ja umschreiben zu
[mm] E[X^2-2aX+a^2]=E[X^2]-2aE[X]+a^2
[/mm]
Und [mm] Var[X]=E[X^2]-E[X]^2.
[/mm]
Also kann man [mm] E[X^2] [/mm] „streichen“
Man muss zeigen:
[mm] 2aE[X]-a^2 \le E[X]^2.
[/mm]
Jetzt habe ich die linke Seite als Funktion aufgefasst und das Maximum bestimmt, dieses wird für a=E[x] angenommen. In diesem Fall gilt Gleichheit und da es der maximale wert ist, gilt sonst immer: [mm] 2aE[X]-a^2 \le E[X]^2
[/mm]
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Hiho,
> Es sei ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum gegeben und X: Omega --> IR ein Zufallsvariable mit Var[X] [mm]\le \infty.[/mm]
Erstmal: Nutze doch bitte den Formeleditor, so will das niemand lesen.
Und: Ich hoffe mal, du meinst $Var[X] < [mm] \infty$
[/mm]
Sonst muss man da noch ein bisschen Arbeit reinstecken.
> Jetzt habe ich die linke Seite als Funktion aufgefasst
viel zu kompliziert. Bringe alles auf eine Seite und nutze eine binomische Formel.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Do 29.05.2014 | | Autor: | Trikolon |
Ach ja, die habe ich ganz übersehen. Danke!
Ginge es theoretisch auch so, wie ich es gemacht habe?
Var[X] < [mm] \infty. [/mm] Genau
Und noch eine andere Frage: Weshalb braucht man in der Ungleichung denn unbedingt den Betrag? Man quadriert doch sowieso...
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Hiho,
> Ginge es theoretisch auch so, wie ich es gemacht habe?
Ja, aber das ist mit Kanonen auf Spatzen geschossen.
> Und noch eine andere Frage: Weshalb braucht man in der Ungleichung denn unbedingt den Betrag?
Nein.
> Man quadriert doch sowieso...
Eben.
Gruß,
Gono.
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