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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:57 Sa 14.12.2013 | | Autor: | barneyc |
| Aufgabe | Zeige:
Für x [mm] \in [/mm] [0,1] gilt ln(1+x) [mm] \le [/mm] arctan(x) |
Hallo,
ich muss diese Frage leider ohne "echten" Ansatz stellen.
Für die beiden Grenzfälle ging die Ungleichung ja ganz gut zu zeigen.
Wenn ich dann zeigen kann, dass:
ln(1+x) = arctan(x)
nur für x > 1 bzw. x < 0 erfüllt ist, habe ich doch die Ungleichung gezeigt.
Denn wenn ich für einen Fall zeigen kann, dass ln(1+x) [mm] \le [/mm] arctan(x) und sich die Funktionen im gegebenen Intervall nicht mehr schneiden, habe ich das Ganze doch gezeigt oder?
also:
ln(1+x) [mm] \le [/mm] arctan(x)
[mm] \bruch{tan ( ln (1+x ) )}{x} \le [/mm] 1
wie geht es hier weiter?
Würdet Ihr eine andere Strategie wählen?
Vielen Dank im Voraus
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Hiho,
> und sich die Funktionen im gegebenen Intervall nicht mehr schneiden
Sie schneiden sich aber bei x=0 insofern ist dein Ansatz nicht sehr hilfreich.
> Würdet Ihr eine andere Strategie wählen?
Ja.
Was sind beide Funktionen für x=0 ?
Dann: Ableitungen betrachten.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 So 15.12.2013 | | Autor: | barneyc |
Hallo Gonozal,
erstmal vielen Dank für deine Antwort.
Beide Funktionen sind "0" an der Stelle "0".
Soweit so gut, doch was bringt mir das?
Zu deinem Tipp mit den Ableitungen:
Leite ich die Funktionen ab, bekomme ich ja die Steigung der beiden Funktionen.
Reicht es dann zu zeigen, dass die eine der beiden Funktionen in jedem Punkt zwischen "0" und "1" eine größere Steigung hat als die andere?
Vielen Dank im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 So 15.12.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ganz genau. Bei 0 sind beide Funktionen auf der gleichen "Höhe", aber die Arkustangensfunktion "steigt steiler an", bleibt also stets oberhalb.
Anschaulich leuchtet das ein, aber du kannst das natürlich auch noch gerne beweisen. Es sollte nicht so schwierig sein!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Mo 16.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Gonozal,
>
> erstmal vielen Dank für deine Antwort.
>
> Beide Funktionen sind "0" an der Stelle "0".
>
> Soweit so gut, doch was bringt mir das?
>
> Zu deinem Tipp mit den Ableitungen:
>
> Leite ich die Funktionen ab, bekomme ich ja die Steigung
> der beiden Funktionen.
> Reicht es dann zu zeigen, dass die eine der beiden
> Funktionen in jedem Punkt zwischen "0" und "1" eine
> größere Steigung hat als die andere?
Mir würde das nicht reichen. Aber mit dem Mittelwertsatz kannst Du Deine Idee prima zu einem guten Ende führen !
FRED
>
> Vielen Dank im Voraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:32 So 15.12.2013 | | Autor: | fred97 |
Besorge Dir die Potenzreihenentwicklungen von ln(1+x) und arctan(x) ( um 0) und betrachte
arctan(x)-ln(1+x)
FRED
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