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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 Fr 15.06.2012 | | Autor: | eps |
| Aufgabe | [mm] W_k=w_1+ \ldots +w_k, [/mm] wobei [mm] w_k\ge [/mm] 0
[mm] W_k^2 \ge w_{k+1}\summe_{i=1}^{k-1}W_i [/mm] für [mm] 2\le [/mm] k [mm] \le [/mm] n-1
zu zeigen:
[mm] 1-\summe_{i=1}^{n-1}\bruch{W_iw_n}{W_{n-1}W_n}\ge [/mm] 0 |
Ich komm leider nicht weiter. Ich bin so an die Aufgabe herangegangen:
[mm] W_{n-1}^2 [/mm] - [mm] w_{n}\summe_{i=1}^{n-2}W_i \ge [/mm] 0
[mm] W_nW_{n-1} [/mm] - [mm] w_{n}\summe_{i=1}^{n-2}W_i \ge W_{n-1}^2 [/mm] - [mm] w_{n}\summe_{i=1}^{n-2}W_i \ge [/mm] 0
1 - [mm] \summe_{i=1}^{n-2}\bruch{w_{n}W_i}{W_nW_{n-1}} \ge [/mm] 0
aber bei der Summe steht immer noch n-2. Also
1 - [mm] \summe_{i=1}^{n-1}\bruch{w_{n}W_i}{W_nW_{n-1}} +\bruch{w_{n}W_{n-1}}{W_nW_{n-1}}\ge [/mm] 0
1 - [mm] \summe_{i=1}^{n-1}\bruch{w_{n}W_i}{W_nW_{n-1}} +\bruch{w_{n}}{W_n}\ge [/mm] 0
aber das bringt mich auch nicht zu dem gewünschten Term.
Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Fr 15.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]W_k=w_1+ \ldots +w_k,[/mm] wobei [mm]w_k\ge[/mm] 0
> [mm]W_k^2 \ge w_{k+1}\summe_{i=1}^{k-1}W_i[/mm] für [mm]2\le[/mm] k [mm]\le[/mm]
> n-1
> zu zeigen:
> [mm]1-\summe_{i=1}^{n-1}\bruch{W_iw_n}{W_{n-1}W_n}\ge[/mm] 0
> Ich komm leider nicht weiter. Ich bin so an die Aufgabe
> herangegangen:
> [mm]W_{n-1}^2[/mm] - [mm]w_{n}\summe_{i=1}^{n-2}W_i \ge[/mm] 0
> [mm]W_nW_{n-1}[/mm] - [mm]w_{n}\summe_{i=1}^{n-2}W_i \ge W_{n-1}^2[/mm] -
> [mm]w_{n}\summe_{i=1}^{n-2}W_i \ge[/mm] 0
> 1 - [mm]\summe_{i=1}^{n-2}\bruch{w_{n}W_i}{W_nW_{n-1}} \ge[/mm] 0
>
> aber bei der Summe steht immer noch n-2. Also
> 1 - [mm]\summe_{i=1}^{n-1}\bruch{w_{n}W_i}{W_nW_{n-1}} +\bruch{w_{n}W_{n-1}}{W_nW_{n-1}}\ge[/mm]
> 0
> 1 - [mm]\summe_{i=1}^{n-1}\bruch{w_{n}W_i}{W_nW_{n-1}} +\bruch{w_{n}}{W_n}\ge[/mm]
> 0
> aber das bringt mich auch nicht zu dem gewünschten Term.
> Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?
Aus
[mm]W_{n-1}^2 - w_{n}\summe_{i=1}^{n-2}W_i \ge 0[/mm]
folgt
[mm] \summe_{i=1}^{n-2}W_i \le \bruch{W_{n-1}^2}{w_n} [/mm],
und damit
[mm] \summe_{i=1}^{n-1}W_i = W_{n-1} + \summe_{i=1}^{n-2}W_i \le W_{n-1} + \bruch{W_{n-1}^2}{w_n} = \bruch{w_nW_{n-1}+W_{n-1}^2}{w_n} = \bruch{W_{n-1}(w_n+W_{n-1})}{w_n} = \bruch{W_{n-1}W_{n}}{w_n}[/mm].
Also ist
[mm] \summe_{i=1}^{n-1}\bruch{W_iw_n}{W_{n-1}W_n} \le 1 [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:11 Sa 16.06.2012 | | Autor: | eps |
Dankeschön für die schnelle Antwort. Ich bin wohl etwas falsch herangegangen und hab mich festgefahren. also danke!!!
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