Ungleichung < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] log_{\frac{1}{3}}(x^2-1)+log_{\frac{1}{3}}(5-x)>log_{\frac{1}{3}}(3(x+1)) [/mm] |
meine zweite ungleichung im leben :) ich bitte um verbesserungsvorschläge!!
$ [mm] (x^2-1)(5-x) [/mm] > 3(x+1) $ //darf man das immer so machen? also beide seiten potenzieren
$ [mm] -x^3+5x^2-2x-8 [/mm] > 0 $
polynom division:
$ [mm] (-x^3+5x^2-2x-8):(x+1) [/mm] = [mm] -x^2 [/mm] +6x-8 $
$ x<-1: $
$ [mm] -x^2 [/mm] +6x-8 > 0$
jetzt weiss ich nicht genau wie ich das managen soll:
$ [mm] -(x^2 [/mm] -6x+8) > 0 $ oder
$ [mm] x^2 [/mm] -6x+8<0 $
mit der pq fomerl komm ich auf
$ [mm] x_1 [/mm] = 4; [mm] x_2 [/mm] =2 $
so jetzt weiss ich nicht wie ich das aufschreiben soll mit den fallunterscheidungen schliesslich hab ich durch das multiplizieren mit -1 die erste bedingungen x<-1 unsinnig gemacht oder ? hm....
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> [mm]log_{\frac{1}{3}}(x^2-1)+log_{\frac{1}{3}}(5-x)>log_{\frac{1}{3}}(3(x+1))[/mm]
> meine zweite ungleichung im leben :) ich bitte um
> verbesserungsvorschläge!!
>
> [mm](x^2-1)(5-x) > 3(x+1)[/mm] //darf man das immer so machen? also
> beide seiten potenzieren
ich würd es glaub ich eher als exponentieren bezeichnen, bin mir da aber selber nicht ganz sicher 
solang die funktion monoton wachsend (oder auch fallend) ist, ist das richtig. (bei fallenden angewendeten funktionen muss jedoch das ungleichungszeichen gedreht werden)
> [mm]-x^3+5x^2-2x-8 > 0[/mm]
ab hier würde ich zu einer gleichung wechseln und die nullstellen bestimmen. anhand von einer fixen skizze oder bestimmen der einzelnen intervalle (wann >0) kommt man ohne grossen aufwand an die lösungen.
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> polynom division:
> [mm](-x^3+5x^2-2x-8):(x+1) = -x^2 +6x-8[/mm]
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> [mm]x<-1:[/mm]
> [mm]-x^2 +6x-8 > 0[/mm]
> jetzt weiss ich nicht genau wie ich das
> managen soll:
> [mm]-(x^2 -6x+8) > 0[/mm] oder
> [mm]x^2 -6x+8<0[/mm]
>
> mit der pq fomerl komm ich auf
> [mm]x_1 = 4; x_2 =2[/mm]
>
> so jetzt weiss ich nicht wie ich das aufschreiben soll mit
> den fallunterscheidungen schliesslich hab ich durch das
> multiplizieren mit -1 die erste bedingungen x<-1 unsinnig
> gemacht oder ? hm....
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> [mm]log_{\frac{1}{3}}(x^2-1)+log_{\frac{1}{3}}(5-x)>log_{\frac{1}{3}}(3(x+1))[/mm]
> > meine zweite ungleichung im leben :) ich bitte um
> > verbesserungsvorschläge!!
> >
> > [mm](x^2-1)(5-x) > 3(x+1)[/mm] //darf man das immer so machen? also
> > beide seiten potenzieren
> ich würd es glaub ich eher als exponentieren bezeichnen,
> bin mir da aber selber nicht ganz sicher
> solang die funktion monoton wachsend (oder auch fallend)
> ist, ist das richtig. (bei fallenden angewendeten
> funktionen muss jedoch das ungleichungszeichen gedreht
> werden)
wie krieg ich das heraus?
> > [mm]-x^3+5x^2-2x-8 > 0[/mm]
> ab hier würde ich zu einer
> gleichung wechseln und die nullstellen bestimmen. anhand
> von einer fixen skizze oder bestimmen der einzelnen
> intervalle (wann >0) kommt man ohne grossen aufwand an die
> lösungen.
naja und falls ich das rechnerisch lösen muss?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 Di 19.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. die Basis des log ist 1/3 das ist doch richtig?
die fkt [mm] f(x)=(1/3)^x=1/(3^x) [/mm] faellt fuer wachsende x.
du hast [mm] log_{1/2}((x^2-1)*(x-5)>log_{1/3}(3*(x+1))
[/mm]
jetzt solltest du wissen , dass [mm] (1/3)^2>(1/3)^3 [/mm] ist.
d.h. die fkt [mm] f(x)+((1/3)^x [/mm] ist eine fallende fkt (je groesser x, desto kleiner f(x)
wenn die 2 logs also mit den > Zeichen stehen, muss da innere mit den < Zeichen stehen.
d.h. du hast:
$ [mm] (x^2-1)(5-x) [/mm] < 3(x+1) $
1. umschreiben: [mm] x^2-1=(x+1)*(x-1)
[/mm]
Dann kannst du beide Seiten durch (x+1) teilen.
aber wenn x+1<0 dreht sich das < Zeichen um
3<(-3)*(-2)
durch (-3)teilen
ergibt -1>-2
Also Fallunterscheidung: a)x+1>1
(x-1)*(5-x)<3
dann von (x-1)*(5-x)-3 die Nullstellen bestimmen. Da wechseln die Vorzeichen.
das gilt ja auch, wenn du b)(x+1)<0 betrachtest.
Die Skizze der parabel f(x)=(x-1)*(5-x)-3 hilft dir, die Vorzeichen zu sehen. aber wenn du sie als [mm] (x-a)^2+b [/mm] umschreibst kennst du ja auch den Scheitel, und weisst ob sie da pos oder neg. ist. das bleibt sie dann zwischen den 2 Nst.
Gruss leduart
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Vielen lieben Dank! Wirklich! Aber ich hab so ca. 2/3 nicht verstanden geht das etwas verständlicher wie gesagt ich hab null ahnung von Ungleichungen und versuch mir das grad selber beizubringen ...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:33 Mi 20.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
zitier die Antwort, und sag genau, was du nicht verstanden hast.
gruss leduart
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> Geht das etwas verständlicher? Wie gesagt, ich hab
> null Ahnung von Ungleichungen und versuch, mir das grad
> selber beizubringen ...
Ich finde, am einfachsten geht das, wenn du aus einer Ungleichung eine Gleichung machst und diese auflöst.
Anschließend setzt du einen Wert ein, der kleiner ist als der Wert der Gleichungs-Lösung und einen Wert, der größer ist als der Wert der Gleichungs-Lösung.
Und dann schaust du, welcher der beiden Werte die Ungleichung erfüllt.
Sollte die Gleichung mehr als eine Lösung ergeben, dann musst du dieses Prozedere mehrmals durchführen.
Ich denke, so ist es einfacher, als jedes Mal zu überlegen, ob und wie sich die Ungleichheits-Zeichen umdrehen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:58 Mi 20.05.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Auch wenn es keine Gleichungs-Lösung gibt, funktioniert das:
Beispiel: [mm] \bruch{1}{x}<0
[/mm]
Da gibt es keine Lösung für die Gleichung [mm] \bruch{1}{x}=0
[/mm]
Für x darf man nicht NULL setzen. Also ist die Grenze NULL
Aber dann probierst du aus:
[mm] \bruch{1}{1}<0 [/mm] ==> falsch
[mm] \bruch{1}{-1}<0 [/mm] ==> richtig
Somit ist die Ungleichung erfüllt für alle x<0
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:14 Mi 20.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Die Ungleichung
$ [mm] log_{\frac{1}{3}}(x^2-1)+log_{\frac{1}{3}}(5-x)>log_{\frac{1}{3}}(3(x+1)) [/mm] $
ist nur def. falls [mm] x^2>1 [/mm] , 5>x und x>-1. Dies ist genau dann der Fall, wenn
x [mm] \in [/mm] (1,5).
Für diese x :
$ [mm] log_{\frac{1}{3}}(x^2-1)+log_{\frac{1}{3}}(5-x)>log_{\frac{1}{3}}(3(x+1)) [/mm] $
[mm] \gdw
[/mm]
$ [mm] -x^3+5x^2-2x-8 [/mm] > 0 $
[mm] \gdw [/mm] ( div. durch x+1)
$ [mm] -x^2 [/mm] +6x-8 > 0 $
[mm] \gdw
[/mm]
x [mm] \in [/mm] (2,4)
Fazit:
[mm] $log_{\frac{1}{3}}(x^2-1)+log_{\frac{1}{3}}(5-x)>log_{\frac{1}{3}}(3(x+1)) \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] (2,4)$
FRED
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> [mm]-x^2 +6x-8 > 0[/mm]
okey aber die Lösung
> x [mm]\in[/mm] (2,4)
gilt nur für $ [mm] x^2 [/mm] -6x+8$
was [mm] $\not [/mm] = [mm] -x^2 [/mm] +6x-8$
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Hallo DrNetwork,
> > [mm]-x^2 +6x-8 > 0[/mm]
>
> okey aber die Lösung
> > x [mm]\in[/mm] (2,4)
>
> gilt nur für [mm]x^2 -6x+8[/mm]
> was [mm]\not = -x^2 +6x-8[/mm]
Hmm, was genau meinst du hier?
Wenn du [mm] $-x^2+6x-8>0$ [/mm] hast und mit $(-1)$ multiplizierst, so ergibt das doch
[mm] $x^2-6x+8\red{<}0$ [/mm]
Faktorisieren:
[mm] $(x-2)\cdot{}(x-4)<0$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] x-2<0 [mm] \wedge [/mm] x-4>0 \ \ [mm] \mbox{oder} [/mm] \ \ x-2>0 [mm] \wedge [/mm] x-4<0$
Also [mm] $\underbrace{x<2 \wedge x>4}_{\text{Unsinn}} [/mm] \ \ [mm] \mbox{oder} [/mm] \ \ x>2 [mm] \wedge [/mm] x<4$
Also [mm] $x\in [/mm] (2,4)$
Genau das, was Fred angegeben hat ...
Ich hoffe, das war das, was du meintest 
LG
schachuzipus
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| Aufgabe | > Also [mm]\underbrace{x<2 \wedge x>4}_{\text{Unsinn}} \ \ \mbox{oder} \ \ x>2 \wedge x<4[/mm]
>
> Also [mm]x\in (2,4)[/mm]
Warum schreibst du statt [mm]x\in (2,4)[/mm] nicht einfach: 2 < x < 4
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Wie würde es denn in deiner Schreibweise aussehen, wenn
a) x nur die Werte 2 und 4 annehmen würde
b) x zwischen 2 und 4 liegt und auch die Werte 2 und 4 annehmen dürfte
(also: 2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 4) ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:53 Do 28.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Also [mm]\underbrace{x<2 \wedge x>4}_{\text{Unsinn}} \ \ \mbox{oder} \ \ x>2 \wedge x<4[/mm]
>
> >
> > Also [mm]x\in (2,4)[/mm]
>
> Warum schreibst du statt [mm]x\in (2,4)[/mm] nicht einfach: 2 < x <
> 4
Warum nicht ??
>
> Wie würde es denn in deiner Schreibweise aussehen, wenn
>
> a) x nur die Werte 2 und 4 annehmen würde
x [mm] \in [/mm] {2,4}
>
> b) x zwischen 2 und 4 liegt und auch die Werte 2 und 4
> annehmen dürfte
> (also: 2 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 4) ?
x [mm] \in [/mm] [2,4]
FRED
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