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Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:17 Sa 27.10.2007
Autor: Archimed

Aufgabe
Seien [mm] a_1,.........,a_n [/mm] n beliebige positive Zahlen. Zeige:

[mm] \frac{1}{\summe_{i=1}^{n} a_i}[/mm] [mm] \le [/mm] [mm] \frac{1}{n^2}\summe_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i} [/mm]

Nach der Umformung sieht es dann so aus...

[mm] n^2[/mm] [mm]\le [/mm]  [mm] \summe_{i=1}^{n} a_i\summe_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i} [/mm]

Von der Vollständigen Induktion ist hier nicht die Rede und ich weiß echt nicht wie ich weiter machen soll...

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:33 Sa 27.10.2007
Autor: leduart

Hallo
du hast doch beim Ausmultipl, der Summe Glieder ai/ai=1 und [mm] ai/aj+aj/ai\ge2 [/mm]
ich glaub damit muss es hinkommen. oder doch mit Induktion.
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:55 Sa 27.10.2007
Autor: Archimed

Aufgabe
Aufgabe
Seien  [mm] a_1,.........,a_n [/mm]  n beliebige positive Zahlen. Zeige:

[mm] \frac{1}{\summe_{i=1}^{n} a_i} \le \frac{1}{n^2}\summe_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i} [/mm]  

Darf ich diese Summen überhaupt ausmultiplizieren?
[mm] \frac{a_i}{a_i} [/mm] darf ich nicht kürzen, oder etwa doch?
Und wenn ich die Vollständige Induktion benutze, wie macht man das mit 2 Summen?
Ich hab kein analoges Beispiel bis jetzt gesehen :-(

Bezug
                        
Bezug
Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:26 Sa 27.10.2007
Autor: angela.h.b.


> Aufgabe
>  Seien  [mm]a_1,.........,a_n[/mm]  n beliebige positive Zahlen.
> Zeige:
>  
> [mm]\frac{1}{\summe_{i=1}^{n} a_i} \le \frac{1}{n^2}\summe_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i}[/mm]
> Darf ich diese Summen überhaupt ausmultiplizieren?
>  [mm]\frac{a_i}{a_i}[/mm] darf ich nicht kürzen, oder etwa doch?
>  Und wenn ich die Vollständige Induktion benutze, wie macht
> man das mit 2 Summen?
>  Ich hab kein analoges Beispiel bis jetzt gesehen :-(

Hallo,

[willkommenmr].

Ich würde das mit vollständiger Induktion lösen.

Zu zeigen ist also

$ [mm] n^2 [/mm] $ $ [mm] \le [/mm] $  $ [mm] \summe_{i=1}^{n} a_i\summe_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i} [/mm] $.

Den Induktionsanfang bekommst Du hin.

Im Induktionsschluß mußt Du ja zeigen, daß

[mm] (n+1)^2 \le \summe_{i=1}^{n+1} a_i\summe_{i=1}^{n+1} \frac{1}{a_i} [/mm] für alle n gilt.

Fang so an:

[mm] \summe_{i=1}^{n+1} a_i\summe_{i=1}^{n+1} \frac{1}{a_i} [/mm]

[mm] =(a_{n+1} +(\summe_{i=1}^{n} a_i))*( \frac{1}{a_{n+1}}+(\summe_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i})) [/mm]

Nun kannst Du wie gewohnt ausmultiplizieren, Du erhältst 4 Summanden. (Nicht die Summen hinter den Summenzeichen auseinanderpflücken!).

Jetzt kannst Du dann bereits die Induktionsvoraussetzung verwenden.

Die verbleibenden Klammern fasse zusammen zu einer, und dann verwende leduarts Tip [mm] ai/aj+aj/ai\ge2. [/mm] (Das mußt Du eventuell noch zeigen: pos. Zahl + [mm] Kehrwert\ge [/mm] 2)

> Darf ich diese Summen überhaupt ausmultiplizieren?

Das dürftest Du schon tun, wenn Du wolltest, denn die Summen sind ja endlich, also völlig unproblematisch - man muß es allerdings richtig machen, man hat ja zwei Summen zu multiplizieren,  so, wie bei [mm] (a+b+c)(\bruch{1}{a}+\bruch{1}{b}+\bruch{1}{c}). [/mm]

Gruß v. Angela



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