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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Mo 06.11.2006 | | Autor: | lithium |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für n aus [mm] \IN [/mm] folgende Ungleichung gilt.
[mm] 2*(\wurzel{n+1}-1)<\summe_{k=0}^{n} 1/\wurzel{k}\le 2*\wurzel{n}-1 [/mm] |
Ich denke hier komme ich mit induktion weiter, aber wo setze ich an?
Und bekomme ich nicht bei k=0 ein problem?
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Die Summe muß von [mm]k=1[/mm] bis [mm]k=n[/mm] laufen.
Für die rechte Ungleichung verwende im Induktionsschritt
[mm]2 \sqrt{n} - 1 + \frac{1}{\sqrt{n+1}} = \frac{2 \sqrt{n} \sqrt{n+1} + 1}{\sqrt{n+1}} - 1[/mm]
[mm]= \frac{2n+2 - \left( \sqrt{n} - \sqrt{n+1} \right)^2}{\sqrt{n+1}} - 1 = 2 \sqrt{n+1} - 1 - \frac{\left( \sqrt{n} - \sqrt{n+1} \right)^2}{\sqrt{n+1}}[/mm]
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