Ungleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo liebe Matheraumler,
ich bin über einen Ausdruck gestolpert mit dem ich irgendwie nicht klar komme. Ich hoffe von euch kann mir jemand helfen.
Ich bin mir nicht sicher ob die Aussage allgemein gilt und stehe beim nachprüfen/beweisen ganz schön aufm Schlauch...
Ich habe
[mm] x+1 \le \frac{x}{c^{\frac{1}{x+1}}} + c^{\frac{x}{x+1}} [/mm]
wobei $ x [mm] \in \IN [/mm] $ gerade und $ c [mm] \in [/mm] (0,1] $ ist.
Wie kann ich das zeigen?
Danke schon einmal für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:25 Do 23.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Hast du probiert es äquivalent umzuschreiben?
Es gilt:
[mm] x+1\le\frac{x}{c^{\frac{1}{x+1}}} [/mm] + [mm] c^{\frac{x}{x+1}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow c^{\frac{1}{1+x}}x+c^{\frac{1}{1+x}}\le x+e^{\frac{x}{1+x}}e^{\frac{1}{1+x}}
[/mm]
[mm] $\Rightarrow (x+1)c^{\frac{1}{1+x}}\le [/mm] x+c$
[mm] \Rightarrow c^{\frac{1}{1+x}}\le\frac{x+c}{x+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow c^{\frac{1}{1+x}}\le\frac{x}{x+1}+\frac{c}{x+1}
[/mm]
Setze nun $n:=2x$ und zeige die Aussage für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Welche Ungleichung dafür "gut" ist kann ich dir nicht sagen,
da ich es (noch) nicht probiert habe 
DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:52 Do 23.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
für c=1 ist die Aussage offenbar richtig.
Ansonsten setze x=2n und [mm] d=c^{\bruch{1}{2n+1}} [/mm] mit n [mm] \in \IN [/mm] und d [mm] \in [/mm] (0,1).
Behauptet wird $ 2n+1 [mm] \le \bruch{2n}{d}+d^{2n} [/mm] $.
Das ist äquivalent zu $ 2n*(d-1) [mm] \le d^{2n+1}-d [/mm] $ und weiter zu $ 2n [mm] \ge \bruch{d-d^{2n+1}}{1-d} [/mm] = [mm] d+d^2+d^3+...+ d^{2n} [/mm] $, was offenbar richtig ist.
Gruß Sax.
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Danke! Ihr seid echt die Besten!
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