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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Do 11.07.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^{a}}{n!}; [/mm] a [mm] \in \IQ [/mm] |
Hallo,
ich möchte die konvergenz bzw divergenz der obigen reihe bestimmen. Wie kann ich das machen? Mich stört dieses a im exponenten. Wie soll ich da vorgehen?
kann mir jemand einen tipp geben?
Grüße
Ali
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Do 11.07.2013 | | Autor: | piriyaie |
Danke schonmal.
Mit dem QK komme ich soweit:
[mm] \bruch{(n+1)^{a}}{(n+1)!} [/mm] : [mm] \bruch{n^{a}}{n!} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)^{a}*n!}{n!*(n+1)*n^{a}}=\bruch{(n+1)^{a}}{(n+1)*n^{a}}
[/mm]
Und dann? Was mach ich mit dem a????
Grüße
Ali
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Hallo Ali,
> Danke schonmal.
>
> Mit dem QK komme ich soweit:
>
> [mm]\bruch{(n+1)^{a}}{(n+1)!}[/mm] : [mm]\bruch{n^{a}}{n!}[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)^{a}*n!}{n!*(n+1)*n^{a}}=\bruch{(n+1)^{a}}{(n+1)*n^{a}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Und dann? Was mach ich mit dem a????
Schreibe um in [mm]\frac{1}{n+1}\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{a}[/mm]
Was passiert hier für festes [mm]a[/mm], wenn [mm]n\to\infty[/mm] läuft?
>
> Grüße
> Ali
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Do 11.07.2013 | | Autor: | piriyaie |
[mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] geht für lim n gegen [mm] \infty [/mm] gegen 0
und [mm] (1+\bruch{1}{n})^{a} [/mm] geht für lim n gegen [mm] \infty [/mm] gegen 1
und da gibts ja den satz, dass das produkt einer beschränkten folge mit einer nullfolge wieder eine nullfolge ist. also ist der außdruck kleiner als 1 und das ist eine notwendige bedingung für die konvergenz nach quotientenkriterium. also kann ich daraus folgern, dass die reihe konvergiert. grenzwert allerdings unbekannt.
richtig?
gürße
Ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Do 11.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] geht für
> lim
das Wort ist an der Stelle zu viel: Grenzwerte "gehen" nicht (wirklich) mehr...
> n gegen [mm]\infty[/mm] gegen 0
>
> und [mm](1+\bruch{1}{n})^{a}[/mm] geht für
> lim
Siehe oben!
> n gegen [mm]\infty[/mm] gegen
> 1
Richtig - warum denn eigentlich? (Je nach aktuellem Kenntnisstand dauert
eine Begründung etwas länger oder sie ist mit einem Satz abgetan!)
> und da gibts ja den satz, dass das produkt einer
> beschränkten folge mit einer nullfolge wieder eine
> nullfolge ist.
Und weil [mm] ${((1+\tfrac{1}{n})^a)}_{n \in \IN}$ [/mm] für festes $a [mm] \in \IQ$ [/mm] konvergiert, ist diese Folge
insbesondere beschränkt!
> also ist der außdruck kleiner als 1 und das
> ist eine notwendige bedingung für die konvergenz nach
> quotientenkriterium.
?? Du formulierst das komisch: Mit [mm] $r_n:=n^a/n!$ [/mm] konvergiert
[mm] $\sum_{n=0}^\infty r_n=\sum_{n=0}^\infty \frac{n^a}{n!},$
[/mm]
weil [mm] $\limsup_{n \to \infty} |r_{n+1}/r_n|=\limsup_{n \to \infty} \frac{1}{n+1}*\limsup_{n \to \infty} (1+\tfrac{1}{n})^a=...$
[/mm]
(Ergänze die ...!)
Ergänzend: Du kannst hier auch benutzen, dass [mm] $\limsup x_n=\lim x_n$ [/mm] für eine
reelle, in [mm] $\IR$ [/mm] konvergente Folge [mm] ${(x_n)}_n$ [/mm] gilt.
> also kann ich daraus folgern, dass die
> reihe konvergiert. grenzwert allerdings unbekannt.
Ja. Zumindest ist nur mit dem QK unklar, wie der Grenzwert genau
aussieht (eventuell kann man ihn abschätzen). Und wenn es in der
Aufgabe nicht explizit verlangt wird, würde ich mir da auch weniger
Gedanken/Sorgen drum machen.
> richtig?
Im Wesentlichen:
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Do 11.07.2013 | | Autor: | piriyaie |
supi. danke euch.
Morgen analysis prüfung XD. JUHU!
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Hey Ali,
ich drücke die Daumen, kannst dich ja mal melden, wie es gelaufen ist - zumindest, wenn es gut gelaufen ist.
Hau rein und zeig's dem Prof!
Gruß
schachuzipus
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