Uneigentliches Riemann-Int < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo :)
Ich bereite mich gerade auf meine Ana 4 für Physiker Prüfung vor und komme mit einer Aufgabe nicht klar: Ich soll zeigen, dass dieses Integral als Lebesgue-Integral ex.
[mm] \integral_{\mathbb{R}}{\bruch{e^{|x|+|y|}}{\wurzel{1+x^2+y^2}} dx dy}
[/mm]
Also muss ich schauen, ob das uneigentliche Riemann-Integral konvergiert? Mathematica sagt, dass es nicht konvergiert, nur wie kann ich das zeigen?! Ich komme einfach nicht auf eine gute Abschätzung...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Di 16.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo :)
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> Ich bereite mich gerade auf meine Ana 4 für Physiker
> Prüfung vor und komme mit einer Aufgabe nicht klar: Ich
> soll zeigen, dass dieses Integral als Lebesgue-Integral
> ex.
>
> [mm]\integral_{\mathbb{R}}{\bruch{e^{|x|+|y|}}{\wurzel{1+x^2+y^2}} dx dy}[/mm]
Du meinst wohl [mm]\integral_{\IR^2}{\bruch{e^{|x|+|y|}}{\wurzel{1+x^2+y^2}} dx dy}[/mm]
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> Also muss ich schauen, ob das uneigentliche
> Riemann-Integral konvergiert? Mathematica sagt, dass es
> nicht konvergiert, nur wie kann ich das zeigen?! Ich komme
> einfach nicht auf eine gute Abschätzung...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Sei R>0 und [mm] K_R:=\{(x,y) \in \IR^2: x^2+y^2 \le R^2\}
[/mm]
Dann ist [mm]\integral_{\IR^2}{\bruch{e^{|x|+|y|}}{\wurzel{1+x^2+y^2}} dx dy} \ge \integral_{K_R}{\bruch{e^{|x|+|y|}}{\wurzel{1+x^2+y^2}} dx dy}[/mm]
Wegen |x|+|y| [mm] \ge \wurzel{x^2+y^2}
[/mm]
ist dann
[mm]\integral_{\IR^2}{\bruch{e^{|x|+|y|}}{\wurzel{1+x^2+y^2}} dx dy} \ge \integral_{K_R}{\bruch{e^{|x|+|y|}}{\wurzel{1+x^2+y^2}} dx dy} \ge \integral_{K_R}{\bruch{e^{\wurzel{x^2+y^2}}}{\wurzel{1+x^2+y^2}} dx dy} [/mm]
Mit Polarkoordinaten zeige:
[mm] \integral_{K_R}{\bruch{e^{\wurzel{x^2+y^2}}}{\wurzel{1+x^2+y^2}} dx dy} \to \infty [/mm] für R [mm] \to \infty
[/mm]
FRED
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Vielen Dank schonmal! Ich hab wohl in diesem Bereich etwas nachholbedarf.
Wenn ich in die Abschätzung Polarkoordinaten einsetze komme ich auf folgenden Ausdruck:
2 [mm] \pi \integral_{0}^{\infty}\bruch {e^R \cdot R}{\sqrt{1+R^2}} [/mm] dR
Wie mache ich jetzt weiter...?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Di 16.07.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
schätze den Integranden etwa für R>1 nach unten ab, also zeige, dass füür einen kleineren Integranden das Integral schon divergiert.
bis dann, lula
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 Di 16.07.2013 | | Autor: | Henrikc007 |
Ah, vielen Dank! Der Groschen ist endlich gefallen^^
Also so:
2 [mm] \pi \integral_{0}^{\infty}{e^R \sqrt{\frac{R^2}{1+R^2}} dR}>2 \pi \integral_{1}^{\infty}{e^R \sqrt{\frac{R^2}{1+R^2}} dR}>\frac{2 \pi}{\sqrt{2}} \integral_{1}^{\infty}{e^R dR}=\infty
[/mm]
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