Uneigentliches Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 So 29.06.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Hallo,
ich möchte folgendes Integral berechnen:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{x^n exp(-0,5x^2) dx}, [/mm] wobei n gerade ist. |
Für den Fall, dass n ungerade ist, ist das Integral ja in jedem Fall 0, deshalb habe ich es mal auf n gerade eingeschränkt. Ich habe es bereits mit partieller Integration versucht, komme aber nicht wirklich weiter.
Für eure Hilfe wäre ich wie immer sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 So 29.06.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> ich möchte folgendes Integral berechnen:
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{x^n exp(-0,5x^2) dx},[/mm] wobei n
> gerade ist.
> Für den Fall, dass n ungerade ist, ist das Integral ja in
> jedem Fall 0, deshalb habe ich es mal auf n gerade
> eingeschränkt. Ich habe es bereits mit partieller
> Integration versucht, komme aber nicht wirklich weiter.
Hallo,
wenn du (n-1)mal partiell integrierst, kommst du zu einer Stammfunktion.
Gruß Abakus
>
> Für eure Hilfe wäre ich wie immer sehr dankbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 So 29.06.2014 | | Autor: | rollroll |
Wie genau soll ich denn partiell integrieren?
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Hallo rollroll,
> Wie genau soll ich denn partiell integrieren?
Z.B. so:
[mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{x^n exp(-0,5x^2) dx}=\integral_{-\infty}^{\infty}{x^{n-1}*\left( \ x* exp(-0,5x^2) \ \right) \ dx}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:06 So 29.06.2014 | | Autor: | abakus |
Ich habe mal wolframalpha befragt.
Bei ungeraden Exponenten wie z.B. 7 erhält man das hier:
integral [mm] x^7 [/mm] exp(-0.5 [mm] x^2) [/mm] dx = -e^(-0.5 [mm] x^2) (x^6+6. x^4+24. x^2+48.)+constant
[/mm]
Mit geraden Exponenten wie z.B. 8 sieht es aber so aus:
integral [mm] x^8 [/mm] exp(-0.5 [mm] x^2) [/mm] dx = 131.598 erf(0.707107 x)+e^(-0.5 [mm] x^2) (-x^7-7. x^5-35. x^3-105. [/mm] x)+constant.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:14 So 29.06.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Ich habe mal wolframalpha befragt.
> Bei ungeraden Exponenten wie z.B. 7 erhält man das hier:
> integral [mm]x^7[/mm] exp(-0.5 [mm]x^2)[/mm] dx = -e^(-0.5 [mm]x^2) (x^6+6. x^4+24. x^2+48.)+constant[/mm]
>
> Mit geraden Exponenten wie z.B. 8 sieht es aber so aus:
> integral [mm]x^8[/mm] exp(-0.5 [mm]x^2)[/mm] dx = 131.598 erf(0.707107
> x)+e^(-0.5 [mm]x^2) (-x^7-7. x^5-35. x^3-105.[/mm] x)+constant.
> Gruß Abakus
>
Ich glaub durchaus dem Ergebnis von Wolfram Alpha, aber gefragt ist ja nach dem uneigentlichen Integral von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 So 29.06.2014 | | Autor: | rmix22 |
Ich bin neu in diesem Forum und vermutlich lass ich gerade kein Fettnäpfchen aus um reinzutappen. Aber ich wundere mich gerade, wieso zweimal in diesem Thread eine Frage als beantwortet erscheint, obwohl die beiden Replys ja wohl kaum zufriedenstellende Antworten darstellen.
Die Lösung ist ja wohl allgemein für beliebige n gesucht und da ist der Hinweis, man möge doch n-1 mal partiell integrieren nicht allzu hilfreich (es sei denn man erkennt dabei eine Rekursionsformel für das Integral, aber dazu reichen ja idR auch ein bis zwei partielle Integrationen).
Divere Mathe Software liefert als Ergebnis für gerade Werte von n
[mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{x^n exp(-0,5x^2) dx} = \bruch{n+1}{2}\*\Gamma(\bruch{n+1}{2}) [/mm]
Die Herleitung ist vermutlich nicht durch einfache partielle Integration zu bewerkstelligen. Möglicherweise gehts aber doch über das unbestimmte Integral und die sich dabei einstellende Gaußsche Fehlerfunktion.
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Der Hinweis von MathePower führt zum Ziel. Wegen
[mm]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \operatorname{e}^{- \frac{1}{2}x^2} \right) = -x \cdot \operatorname{e}^{- \frac{1}{2}x^2}[/mm]
folgt für [mm]n \geq 2[/mm] mittels partieller Integration
[mm]\int_{- \infty}^{\infty} x^n \cdot \operatorname{e}^{- \frac{1}{2}x^2} ~ \mathrm{d}x = \underbrace{\left. - x^{n-1} \operatorname{e}^{- \frac{1}{2}x^2} \right|_{- \infty}^{\infty}}_{0} \ + \ (n-1) \int_{- \infty}^{\infty} x^{n-2} \cdot \operatorname{e}^{- \frac{1}{2}x^2} ~ \mathrm{d}x[/mm]
Daß sich vorne 0 ergibt, liegt am Wachstum der Exponentialfunktion: exponentielles Wachstum schlägt polynomiales.
Wenn man also
[mm]I_n = \int_{- \infty}^{\infty} x^n \cdot \operatorname{e}^{- \frac{1}{2}x^2} ~ \mathrm{d}x[/mm]
setzt, so gilt die Rekursionsbeziehung:
[mm]I_n = (n-1) \cdot I_{n-2}[/mm]
Wenn nun [mm]n[/mm] gerade ist und man die Rekursion immer wieder anwendet, landet man schließlich bei
[mm]I_0 = \int_{- \infty}^{\infty} \operatorname{e}^{- \frac{1}{2}x^2} ~ \mathrm{d}x = \sqrt{2 \pi}[/mm] (Gaußsches Fehlerintegral)
Und so wird die Rechnung durchgeführt.
[mm]I_n = (n-1) \cdot I_{n-2} = (n-1)(n-3) \cdot I_{n-4} = \ldots[/mm]
[mm]= (n-1)(n-3) \cdots 3 \cdot I_2 = (n-1)(n-3) \cdots 3 \cdot 1 \cdot I_0[/mm]
[mm]= 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (n-1) \cdot \sqrt{2 \pi}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 So 29.06.2014 | | Autor: | rollroll |
Hallo. Kannst du nochmal die Schritte ab ,, und so wirs die Rechnung durchgeführt'" erklären? Ich habe bei dem ursprünglichen integral noch den vorfaktor 1/ sqrt2 vergessen. Wie wirkt sich das auf die loesung aus?
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Ich habe doch die Rechnung im Detail durchgeführt. Was ist daran nicht klar?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:14 So 29.06.2014 | | Autor: | rollroll |
Ich hatte meine obige Frage noch etwas ausgedehnt.
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[mm]\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2 \pi} = \sqrt{\pi}[/mm]
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