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| Aufgabe | Für zwei Funktionen [mm] f:\IR\rightarrow\IR [/mm] und [mm] g:\IR\rightarrow\IR [/mm] sind folgende Eigenschaften bekannt *1:
1. f und g sind differenzierbar mit f' = g und g' = -f ,
2. f(0) = 0 und g(0) = 1 ,
3. [mm] |f(x)|\le1 [/mm] und [mm] |g(x)|\le1 [/mm] für alle [mm] x\in\IR [/mm] .
a) Zeigen Sie f<x für alle x>0 .
b) Berechnen Sie mit der ersten L'HospitalRegel [mm] \limes_{x\rightarrow0}{\bruch{1}{f(x)}-\bruch{1}{x}}.
[/mm]
*1 z.B. für f=sin und g=cos |
Hallo!
Ich habe leider nur einen ersten Teil eines Ansatzes und auch nur für a):
Ich würde sagen f(x)<x ist bei allen [mm] x\ge1 [/mm] dadurch gegeben, dass [mm] |f(x)|\le1 [/mm] gilt.
Daraus folgt, dass ich f(x)<x "nurnoch" für das Intervall ]0,1] zeigen muss. Aber wie könnte man da denn ansetzen?
Danke für eure Hilfe, Simon.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 Fr 11.01.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo froopkind!
Bitte überarbeite Deine Aufgabe oben nochmal. Die ist leider unleserlich ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:43 Fr 11.01.2008 | | Autor: | froopkind |
Copy'n'Paste ist böse..!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 Fr 11.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Simon
Schreib den Term mal um:
[mm] \limes_{x\rightarrow0}{\left(\bruch{1}{f(x)}-\bruch{1}{x}\right)}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow0}{\left(\bruch{x-f(x)}{f(x)*x}\right)}
[/mm]
Und jetzt wende mal besagten Satz an:
[mm] \limes_{x\rightarrow0}{\bruch{z(x)}{n(x)})}=\limes_{x\rightarrow0}{\bruch{z'(x)}{n'(x)}}
[/mm]
Also hier:
[mm] \limes_{x\rightarrow0}{\left(\bruch{x-f(x)}{f(x)*x}\right)}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow0}{\left(\bruch{(x-f(x))'}{(f(x)*x)'}\right)}
[/mm]
Beachte dabei aber auch die Bedingungen:
g(x)=-f'(x)
f(x)=g'(x)
Marius
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Danke, damit bin ich ein gutes stück in Teil b) weitergekommen.
Jetzt habe ich da stehen: [mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{f}{2*g-x*f}
[/mm]
Und die Lösung ist 0/2=0
Aber wie ist denn da der letzte Schritt?
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Hallo froopkind!
Wende hier Punkt 2 der vorgegebenen Eigenschaften an.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Fr 11.01.2008 | | Autor: | froopkind |
Jetzt habe ich diesen Hinweis verstanden....
Damit habe ich den Teil b) verstanden, vielen Dank!
Hoffe es kann noch jemand bei a) helfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:58 Fr 11.01.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo froopkind!
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{f}{2*g-x*f}[/mm]
Wie bist Du denn auf diesen Ausdruck gekommen?
Gruß vom
Roadrunner
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Das habe ich so gemacht:
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{x-f}{f*x}=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{(x-f)'}{(f*x)'}=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{x'-f'}{f'*x+x'*f}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow0}\bruch{1-g}{g*x+f}=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{-g'}{f'+g'*x+x'*g}=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{f}{g-f*x+g}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow0}\bruch{f}{2g-x*f}=...
[/mm]
Aber jetzt weiß ich nicht wie man zu [mm] \bruch{0}{2} [/mm] kommen kann...
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Hallo froopkind!
Nun setze die Werte $x \ = \ 0$ sowie $f(0)_$ und $g(0)_$ ein.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:44 So 13.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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