Unabhängigkeit von Ereignissen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 Mo 24.11.2014 | | Autor: | Arthaire |
| Aufgabe | Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega, \mathcal{A}, [/mm] P). Zeigen Sie für A, B, C [mm] \in \mathcal{A}:
[/mm]
a) {A,B} unabhängig [mm] \gdw [/mm] { [mm] A,\Omega [/mm] \ B } unabhängig
b) {A,B,C} unabhängig [mm] \gdw [/mm] { [mm] A\cup [/mm] B,C } unabhängig |
Hallo zusammen,
ich habe mal wieder eine Frage zu Wahrscheinlichekeitstheorie und diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
Bei der a) habe ich die Lösung raus:
P(A [mm] \cup B^{C}) [/mm] = P(A \ B) = P(A) - P(A [mm] \cap [/mm] B) = p - qp = p(1-q) = [mm] P(A)P(B^{C}) [/mm] mit P(A) = p und P(B) = q.
Das passt so, oder?
Bei der b) sieht es etwas anders aus:
Es müssen doch die vier Gleichungen gelten:
P(A [mm] \cap [/mm] B) = P(A)P(B)
P(A [mm] \cap [/mm] C) = P(A)P(C)
P(B [mm] \cap [/mm] C) = P(B)P(C)
P(A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C) = P(A)P(B)P(C).
Hier habe ich manchmal auch gefunden, dass nur die letzte gelten muss.
P(A [mm] \cup [/mm] B) = P(A) + P(B) - P(A [mm] \cap [/mm] B) = p + q -pq
P(A [mm] \cup [/mm] B)P(C) = (p + q -pq)r für P(C) = r
Und hier komme ich irgendwie nicht weiter.
Wie kann ich denn P( [mm] A\cup [/mm] B,C ) ausdrücken?
Geht das nur über die bedingte Wahrscheinlichkeit und gibt es da eine Möglichkeit, das mit p,q und r auszudrücken oder muss ich einen ganz anderen Weg gehen?
Vielen Dank schonmal
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Hiho,
also du sollst ja eine [mm] \gdw [/mm] Beziehung zeigen.
Dazu zeigt man erst eine Richtung, dann die andere und insbesondere achtet man auf sauberes Aufschreiben!
> Bei der a) habe ich die Lösung raus:
>
> P(A [mm]\cup B^{C})[/mm] = P(A \ B) = P(A) - P(A [mm]\cap[/mm] B) = p - qp =
> p(1-q) = [mm]P(A)P(B^{C})[/mm] mit P(A) = p und P(B) = q.
> Das passt so, oder?
Also das passt, wenn man annimmt, dass deine Gleichung mit $P(A [mm] \cap B^c)$ [/mm] beginnt und man dir glaubt, dass $ P(A [mm] \setminus [/mm] B) = P(A) - P(A [mm] \cap [/mm] B)$ gilt. Natürlich gilt das, eine Begründung wäre aber sinnvoll.
Wozu führst du p und q ein, anstatt das direkt hinzuschreiben?
Insbesondere verwendest du also $P(A [mm] \cap [/mm] B) = P(A)*P(B)$, also die Unabhängigkeit von A und B, du zeigst also nur die Richtung [mm] $\Rightarrow$.
[/mm]
Was ist mit der [mm] \Leftarrow [/mm] Richtung?
Zur b): So wie du die Aufgabe wiedergegeben hast, ist sie schlichtweg falsch.
Also entweder die Aufgabe lautet anders oder da ist nichts zu zeigen....
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Mo 24.11.2014 | | Autor: | Arthaire |
Danke für die schnelle Antwort.
Bei der a) zeige ich doch beide Richtungen, da ich die Zeile
P(A $ [mm] \cup B^{C}) [/mm] $ = P(A \ B) = P(A) - P(A $ [mm] \cap [/mm] $ B) = p - qp = p(1-q) = $ [mm] P(A)P(B^{C}) [/mm] $ auch einfach von rechts nach links schreiben kann, oder?
Bei der b) hast du recht. Es muss heißen:
{A,B,C} unabhängig [mm] \Rightarrow [/mm] { [mm] A\cup [/mm] B,C } unabhängig.
Aber leider bringt mich das auch nicht wirklich weiter, da ich auch durch die Änderung noch an der gleichen Stelle hänge.
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Hiho,
> Bei der a) zeige ich doch beide Richtungen, da ich die Zeile
> P(A [mm]\cup B^{C})[/mm] = P(A \ B) = P(A) - P(A [mm]\cap[/mm] B) = p - qp = p(1-q) = [mm]P(A)P(B^{C})[/mm] auch einfach von rechts nach links schreiben kann, oder?
Dann steht da aber letztlich auch nur [mm] $P(A)P(B^c) [/mm] = P(A [mm] \cap B^c)$, [/mm] was bei der Rückrichtung ja vorausgesetzt wird.
Wie Schlussfolgerst du daraus jetzt die Unabhängigkeit von A und B?
Zur b): Verwende [mm] $(A\cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] C = (A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)$ sowie $P(A [mm] \cup [/mm] B) = P(A) + P(B) - [mm] P(A\cap [/mm] B)$ mehrfach in abgewandelter Form. Mehr brauchst du nicht.
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:38 So 30.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Arthaire!
Dein unsauberes Aufschreiben führt dazu, dass du den Beweis auch
nur zur Hälfte hättest. Gono hat dir bereits erklärt, dass beide
Richtungen einzeln betrachtet werden müssen, aber vielleicht ist
dir das noch nicht klar?
Wir wollten hier für zwei Aussagen [mm] $P\$ [/mm] und [mm] $Q\$ [/mm] zeigen, dass [mm] $P\gdw [/mm] Q$.
Aus diesem Grund benötigen wir auch beide Richtungen! Ich zeige
dir im Folgenden die Idee für die erste Teilaufgabe.
Sei [mm] (\Omega,\mathcal{A},P) [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum und es seien [mm] A,B\in\mathcal{A}.
[/mm]
[mm] "\Rightarrow":
[/mm]
Es seien [mm] $A\$ [/mm] und [mm] $B\$ [/mm] unabhängig, also [mm] $P(A\cap [/mm] B)=P(A)*P(B)$.
Zu zeigen: [mm] $A\$ [/mm] und [mm] $\Omega\setminus B\$ [/mm] sind unabhängig, also [mm] $P(A\cap (\Omega\setminus B))=P(A)*P(\Omega\setminus [/mm] B)$.
Du hattest bereits
[mm] $P(A\cap (\Omega\setminus B))=P(A\setminus B)=P(A)-P(A\cap [/mm] B)$.
(Für den letzten Schritt in kurz: Wir können [mm] $A\$ [/mm] schreiben als
[mm] $A=(A\setminus B)\cup (A\cap [/mm] B)$
und wegen
[mm] $(A\setminus B)\cap (A\cap B)=\emptyset$
[/mm]
erhalten wir
[mm] $P(A)=P((A\setminus B)\cup (A\cap B))=P(A\setminus B)+P(A\cap [/mm] B)$).
Wegen der Voraussetzung folgt:
[mm] $P(A)-P(A\cap [/mm] B)=P(A)-(P(A)*P(B))$
und somit
[mm] $P(A)*P(\Omega\setminus [/mm] B)$ (Nachrechnen!).
Jetzt genau anders rum:
[mm] "\Leftarrow":
[/mm]
Es seien [mm] $A\$ [/mm] und [mm] $\Omega\setminus B\$ [/mm] unabhängig, also [mm] $P(A\cap (\Omega\setminus B))=P(A)*P(\Omega\setminus [/mm] B)$.
Zu zeigen: [mm] $A\$ [/mm] und [mm] $B\$ [/mm] sind unabhängig, also [mm] $P(A\cap [/mm] B)=P(A)*P(B)$.
It's your turn!
Fazit: Immer darauf achten was die Voraussetzung ist!
Gruß
DieAcht
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