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| Aufgabe | | Gegeben seien zwei unabhängige Zufallsgrößen X und Y, welche dieselbe Verteilung haben. Zeigen Sie: min(X,Y) und max(X,Y) sind genau dann unabhängig, wenn ein x existiert so dass P(X = x) = 1 gilt. |
Hallo,
Da die Aufgabe auf dem Blatt für Erwartungswert und Varianz steht, gehe ich mal davon aus, dass es irgendwie damit gelöst werden sollte...
Ich habe mir überlegt (weiß aber nicht, ob bzw mir das helfen kann):
1) E(X) = x * 1 = x
2) V(X) = 0 , irgendwo im Skript steht [mm] \exists [/mm] c [mm] \in \IR: [/mm] P(X = c) = 1
Kann ich die Aufgabe mit dem hier beantworten oder bin ich komplett auf dem falschen Dampfer?
Sitze schon ewig an dieser Aufgabe und komme auf keinen grünen Zweig.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Auf alle Fälle schon mal vielen Dank für die Mühe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:21 Do 03.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Gegeben seien zwei unabhängige Zufallsgrößen X und Y,
> welche dieselbe Verteilung haben. Zeigen Sie: min(X,Y) und
> max(X,Y) sind genau dann unabhängig, wenn ein x existiert
> so dass P(X = x) = 1 gilt.
> Hallo,
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> Da die Aufgabe auf dem Blatt für Erwartungswert und
> Varianz steht, gehe ich mal davon aus, dass es irgendwie
> damit gelöst werden sollte...
> Ich habe mir überlegt (weiß aber nicht, ob bzw mir das
> helfen kann):
> 1) E(X) = x * 1 = x
> 2) V(X) = 0 , irgendwo im Skript steht [mm]\exists[/mm] c [mm]\in \IR:[/mm]
> P(X = c) = 1
> Kann ich die Aufgabe mit dem hier beantworten oder bin ich
> komplett auf dem falschen Dampfer?
> Sitze schon ewig an dieser Aufgabe und komme auf keinen
> grünen Zweig.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Auf alle Fälle schon mal vielen Dank für die Mühe
Wenn P(X = c) = 1, dann ist [mm] F_X(s)=1_{I_c}(s) [/mm] mit [mm] I_c:=[c,\infty). [/mm] Dann ist laut Voraussetzung [mm] F_Y(t)=1_{I_c}(t) [/mm] und [mm] F_{X,Y}(s,t)=1_{I_c}(s)1_{I_c}(t)
[/mm]
Mit U:=Min(X,Y) und V=Max(X,Y) ist dann
[mm] F_{U}(p)=\integral 1_{I_p}(Min(s,t))dF_{X,Y}(s,t)
[/mm]
[mm] F_{V}(q)=\integral 1_{I_q}(Max(s,t))dF_{X,Y}(s,t)
[/mm]
[mm] F_{U,V}(p,q)=\integral 1_{I_p}(Min(s,t))1_{I_q}(Max(s,t))dF_{X,Y}(s,t)
[/mm]
Die Auswertung sollte die Unabhängigkeit von U und V offenlegen.
Die andere Richtung habe ich mir noch nicht überlegt.
LG
gfm
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