Unabhängig u. widerspruchsfre < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die drei Gruppenaxiome widerspruchsfrei und unabhängig sind. |
Die drei Axiome
-> assoziatiiv
--> neutrales Element
---> inverses Element kenn ich.
Kann ich auch alle beweisen.
Aber wie zeig ich die beiden geforderten Eigenschaften??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:56 Mi 12.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Zeigen Sie, dass die drei Gruppenaxiome widerspruchsfrei
> und unabhängig sind.
> Die drei Axiome
> -> assoziatiiv
> --> neutrales Element
> ---> inverses Element kenn ich.
Schoen.
> Kann ich auch alle beweisen.
Du meinst, fuer eine konkrete gegebene Menge mit Verknuepfung.
> Aber wie zeig ich die beiden geforderten Eigenschaften??
Du musst folgendes zeigen:
fuer jede Moeglichkeit (Assoziativitaet gilt / gilt nicht, neutrales Element existiert / existiert nicht, Inverse Elemente existieren / existeneren nicht) musst du zeigen, dass es eine algebraische Strkutur gibt, die dies erfuellt. Sprich, du musst explizit etwas angeben.
Daraus folgt dann, dass die Axiome unabhaengig sind (weil das (Nicht-)Vorhandensein nicht die Existenz eines Objektes ausschliest, welches dies so erfuellt) und widerspruchsfrei (weil es etwas gibt welches alle erfuellt).
Allerdings: das stimmt hier nicht so ganz (oder wie genau habt ihr das mit den Inversen definiert?), da man zur Definition der Inversen bereits das Neutralelement benoetigt.
LG Felix
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Ok, ich hab mir jetzt die Gruppe [mm] (\IR, [/mm] +) ausgesucht mit a, b, c [mm] \in \IR.
[/mm]
Um zu zeigen, dass es hier keinen Widerspruch gibt, prüfe ich also, ob das Modell alle "Axiome" erfüllt.
G1: assoziativ:
--> a + (b +c) = ( a + b ) + c
--> a + b + c ) = a + b + c
G2: neutrales Element:
--> a + 0 = a
G3: inverses Element:
--> a + (-a) = 0
Reicht das so schon? Oder fehlt noch was? Soll ich da noch Beispiele mit konkreten Zahlen z.B. a = 1, b = 2, c = 3 angeben??
Zur Unabhängigkeit:
Ein Modell, dass nur assoziativ und neutrales Element erfüllt:
[mm] (\IN, [/mm] +)
Ein Modell, dass nur neutrales und inverses Element erfüllt:
[mm] (\IN, [/mm] :)
Ein Modell dass nur assoziativ und inverses Element erfüllt:
--> Hat der Übungsleiter heute angesprochen. Da G3 das neutrale Element benötigt, ist es sinnfrei in Modell anzugeben. Die anderen beiden reichen also.
Und? Kann ich mit meiner Lösung was anfangen? O
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 Fr 14.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:50 Fr 14.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Ok, ich hab mir jetzt die Gruppe [mm](\IR,[/mm] +) ausgesucht mit a,
> b, c [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Um zu zeigen, dass es hier keinen Widerspruch gibt, prüfe
> ich also, ob das Modell alle "Axiome" erfüllt.
>
> G1: assoziativ:
> --> a + (b +c) = ( a + b ) + c
> --> a + b + c ) = a + b + c
>
> G2: neutrales Element:
>
> --> a + 0 = a
>
> G3: inverses Element:
> --> a + (-a) = 0
>
>
>
> Reicht das so schon?
Ja. Du haettest aber auch etwas kleineres waehlen koennen, etwa die triviale Gruppe [mm] $\{ 0 \}$.
[/mm]
> Oder fehlt noch was? Soll ich da noch
> Beispiele mit konkreten Zahlen z.B. a = 1, b = 2, c = 3
> angeben??
Nein! Sowas taugt nur als Gegenbeispiel.
> Zur Unabhängigkeit:
>
> Ein Modell, dass nur assoziativ und neutrales Element
> erfüllt:
>
> [mm](\IN,[/mm] +)
Du musst explizit erwaehnen, dass es keine inversen Elemente (zu fast allen Elementen) gibt, dass also das Axiom verletzt ist. (Etwa durch ein Beispiel belegen.)
> Ein Modell, dass nur neutrales und inverses Element
> erfüllt:
>
> [mm](\IN,[/mm] :)
Hier genau das gleiche.
> Ein Modell dass nur assoziativ und inverses Element
> erfüllt:
>
> --> Hat der Übungsleiter heute angesprochen. Da G3 das
> neutrale Element benötigt, ist es sinnfrei in Modell
> anzugeben. Die anderen beiden reichen also.
Genau.
LG Felix
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