Un/stetigkeit nachweisen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Studi91 |
| Aufgabe | Untersuche [mm] f:\IR^{2} \to \IR [/mm] auf Stetigkeit mit
[mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{e^{-1/x^2}*y}{e^{-2/x^2}+y^2}, & \mbox{für } x \not= 0 \\ 0, & \mbox{für } x = 0 \end{cases} [/mm] |
Hallo,
ich bitte um eine kleine Starthilfe bei diesem Un/stetigkeitsbeweis.
Ich habe mir die Funktion mal mit einem Programm zeichnen lassen und gesehen, dass sie eine Lücke um Nullpunkt hat. Aus diesem Grund will ich die Unstetigkeit nachweisen. Nun war meine erste Idee zwei verschiedene Geraden an den Nullpunkt anzunähern und so zu zeigen, dass dort die Grenzwerte unterschiedlich sind.
Zunächst habe ich die Gerade y=0 betrachtet: [mm] \limes_{(x,0)\rightarrow(0,0)} [/mm] f(x,0) = 0.
Nun fehlt mir aber die Idee für eine zweite geeignete Gerade. Für x kann ich ja offensichtlich nicht 0 einsetzen und auch der L'Hospital würde mir nichts brigen, da die Exponentialfunktion ja auch nach dem Ableiten stehen bleibt.
Hat jemand eine gute Idee für die zweite Gerade oder muss ich den Nachweis gar anders angehen?
Vielen Dank & Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:02 Sa 17.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Untersuche [mm]f:\IR^{2} \to \IR[/mm] auf Stetigkeit mit
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{e^{-1/x^2}*y}{e^{-2/x^2}+y^2}, & \mbox{für } x \not= 0 \\
0, & \mbox{für } x = 0 \end{cases}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich bitte um eine kleine Starthilfe bei diesem
> Un/stetigkeitsbeweis.
> Ich habe mir die Funktion mal mit einem Programm zeichnen
> lassen und gesehen, dass sie eine Lücke um Nullpunkt hat.
> Aus diesem Grund will ich die Unstetigkeit nachweisen. Nun
> war meine erste Idee zwei verschiedene Geraden an den
> Nullpunkt anzunähern und so zu zeigen, dass dort die
> Grenzwerte unterschiedlich sind.
> Zunächst habe ich die Gerade y=0 betrachtet:
> [mm]\limes_{(x,0)\rightarrow(0,0)}[/mm] f(x,0) = 0.
> Nun fehlt mir aber die Idee für eine zweite geeignete
> Gerade. Für x kann ich ja offensichtlich nicht 0 einsetzen
> und auch der L'Hospital würde mir nichts brigen, da die
> Exponentialfunktion ja auch nach dem Ableiten stehen
> bleibt.
> Hat jemand eine gute Idee für die zweite Gerade oder muss
> ich den Nachweis gar anders angehen?
>
> Vielen Dank & Grüße
Hallo,
nimm doch eine beliebige Ursprungsgerade y=ax bzw. (am einfachsten) y=x.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:46 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Studi91 |
Hallo abakus,
vielen Dank für deine Antwort.
y=x habe ich vorhin schon einmal versucht und dann angenommen, dass ich damit auch nicht weiter komme >.<
Ich erhalte also jetzt:
[mm] \limes_{(x,x)\rightarrow(0,0)} [/mm] f((x,x)) = [mm] \limes_{(x,x)\rightarrow(0,0)} \bruch{e^{-1/x^2}\cdot{}x}{e^{-2/x^2}+x^2} [/mm] = (L'Hospital) [mm] \limes_{(x,x)\rightarrow(0,0)} \bruch{x^2+2}{e^{1/x^2}*x^2*\bruch{4*e^{-2/x^2}+2x^4}{x^3}} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Stimmt das [mm] \infty? [/mm] Meiner Meinung habe ich für x gegen 0 im Zähler eine 2 und im Nenner eine 0 und dies geht meines Wissens nach gegen Unendlich. Ich gehe aber lieber noch einmal auf Nummer sicher und frage nach 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 19.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
