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Umstellen nach x: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:52 Do 12.10.2006
Autor: skysi

Aufgabe
y=x-1/x²+1

y(x²+1)=x-1

Hier komme ich einfach nicht weiter.

Kann mir jemand verraten, wie ich diese Funktion nach x umstelle? Ich weiß nicht, ob der erste Schritt so richtig ist. Am Ende darf doch auch nur ein x übrig bleiben.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
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Umstellen nach x: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:59 Do 12.10.2006
Autor: hase-hh

moin,

zu welchem zweck willst du diese funktion nach x umstellen?

lg
wolfgang


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Umstellen nach x: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:07 Do 12.10.2006
Autor: skysi

Ich möchte diese Funktion nach x umstellen um feststellen zu können, ob es zu jedem y ein x gibt.

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Umstellen nach x: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:30 Do 12.10.2006
Autor: hase-hh

hallo,

ich frag nochmal doof nach...

y = [mm] \bruch{x-1}{x^2+1} [/mm]

oder

y = x - [mm] \bruch{1}{x^2+1} [/mm]


viel leichter wäre es, wenn im nenner [mm] x^2-1 [/mm] stünde

dann könnte ich gem. 3. binomischer formel

zerlegen in (x-1)(x+1) und dann kürzen!

dann wäre x = [mm] \bruch{1}{y} [/mm] - 1


aber so..., keine ahnung!




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Umstellen nach x: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:59 Do 12.10.2006
Autor: GoldenAvatar

Es gibt sicher nicht zu jedem y ein x, damit die Gleichung stimmt, denn z.B. für y = 1 müsste gelten: [mm] x^{2}+1=x-1 [/mm], also [mm] x^2-x+2=0 [/mm], und diese Gleichung hat keine Lösung (was man auch graphisch leicht sieht, die linke Seite ist ja eine um 1 nach oben verschobene Parabel, die rechte Seite eine Gerade, das kannst du dir beides zeichen und um für ein x den gleichen Wert zu haben müssten sie einander schneiden.)
Beantwortet das schon deine Frage, oder musst du noch mehr wissen?

lg
GA

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Umstellen nach x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:38 Do 12.10.2006
Autor: KnockDown

Hi ich habe versucht den Term mit der Hand zu lösen.

Ich konnte ihn leider nicht ganz lösen. Deshalb habe ich ihn mal mit Derive lösen lassen. Außerdem habe ich die Lösung mal zeichen lassen (da es darum auch mal ging in den Mittelungen).

Ich hoffe ich konnte ein wenig Helfen, eine vollständige Antwort ist das leider nicht.

[Dateianhang nicht öffentlich]

[Dateianhang nicht öffentlich]


Gruß KnockDown

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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Umstellen nach x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:02 Do 12.10.2006
Autor: GoldenAvatar

Ok, bevor hier mit Computerlösungen gearbeitet wird, schreib ich doch eine vollständige Antwort:

[mm]y*(x²+1)=x-1[/mm]
Für y = 0 ist die Gleichung durch x = 1 lösbar.
Sei [mm]y \not= 0[/mm]:
Dann gilt [mm]x²+1=\bruch{x}{y}-\bruch{1}{y}[/mm] bzw.
[mm]x²-\bruch{x}{y}+1+\bruch{1}{y}=0[/mm]
Man sieht schon dass das eine quadratische Gleichung in x ist, und es hängt von y ab, ob sie lösbar ist oder nicht. Dazu einfach in die Lösungsformel einsetzen, daher:
[mm]x_{\red{1,2}}=\bruch{1}{2y}\pm \wurzel{\bruch{1-4y-4y^2}{4y²}}[/mm]
Man sieht, dass es genau dann Lösungen gibt, wenn [mm]-4y²-4y+1\ge 0[/mm]
Einfach wieder mit der Lösungsformel die Nullstellen berechnen, müsste [mm]-\bruch{1+\wurzel{2}}{2}[/mm] und [mm]-\bruch{1-\wurzel{2}}{2}[/mm] herauskommen, und im abgeschlossenen Intervall, das von den beiden Nullstellen gebildet wird, gibt es Lösungen.

lg
Patrick

PS: Es ist schon spät, die Antwort ist nicht mit 100%iger Gewähr, aber jedenfalls geht's auf die Art.

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Umstellen nach x: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:00 Fr 13.10.2006
Autor: skysi

Vielen Dank für die Antworten. Ich denke jetzt bin ich einen großen Schritt weiter.

Viele Grüße

Skysi

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Umstellen nach x: Lösungsformel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:03 Fr 13.10.2006
Autor: KnockDown

Hi, deine Lösung ist echt super! Ich komme nur bei einem Schritt nicht ganz mit.
Vielleicht kannst mir ihn jemand erklären, dann verstehe ich die Aufgabe ganz.

> Ok, bevor hier mit Computerlösungen gearbeitet wird,
> schreib ich doch eine vollständige Antwort:
>  
> [mm]y*(x²+1)=x-1[/mm]
>  Für y = 0 ist die Gleichung durch x = 1 lösbar.
>  Sei [mm]y \not= 0[/mm]:
>  Dann gilt [mm]x²+1=\bruch{x}{y}-\bruch{1}{y}[/mm]
> bzw.
>  [mm]x²-\bruch{x}{y}+1+\bruch{1}{y}=0[/mm]
>  Man sieht schon dass das eine quadratische Gleichung in x
> ist, und es hängt von y ab, ob sie lösbar ist oder nicht.
> Dazu einfach in die Lösungsformel einsetzen, daher:
>  [mm]x=\bruch{1}{2y}\pm \wurzel{\bruch{1-4y-4y^2}{4y²}}[/mm]

Es wird hier in die Lösungsformel eingesetzt. Damit ist sicher die p/q oder abc Formel gemeint. Aber ich verstehe nicht wie ihr einsetzt, da ich es nur kenne wenn man die Normalform hat [mm] x^2+x+^1 [/mm] einsetzt.
Was mir auch unklar ist man hat auf der rechten "Seite" immer noch ein "x" im Term stehen das man nicht weg bekommt, wie kann man dass dan einsetzen?
Könnte mir jemand vielleicht einen Zwischenschritt machen?

Danke für die Hilfe!


>  Man
> sieht, dass es genau dann Lösungen gibt, wenn [mm]-4y²-4y+1\ge 0[/mm]
>  
> Einfach wieder mit der Lösungsformel die Nullstellen
> berechnen, müsste [mm]-\bruch{1+\wurzel{2}}{2}[/mm] und
> [mm]-\bruch{1-\wurzel{2}}{2}[/mm] herauskommen, und im
> abgeschlossenen Intervall, das von den beiden Nullstellen
> gebildet wird, gibt es Lösungen.
>  
> lg
>  Patrick
>  
> PS: Es ist schon spät, die Antwort ist nicht mit 100%iger
> Gewähr, aber jedenfalls geht's auf die Art.


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Umstellen nach x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:31 Fr 13.10.2006
Autor: Herby

Hallo Thomas,

du hast ja super Fälligkeitszeiten: 30 Tage - [respekt]



die MB p-q Formel für eine Gleichung der Art: [mm] ax^2+bx+c=0 [/mm]

ergibt sich für [mm] x^2+\red{p}x+\blue{q}=0 [/mm]   mit  [mm] \red{p}=\bruch{b}{a} [/mm]  und   [mm] \blue{q}=\bruch{c}{a} [/mm]


[mm] x_{1,2}=-\bruch{\red{p}}{2}\pm\wurzel{\left(\bruch{\red{p}}{2}\right)^2-\blue{q}} [/mm]


wir haben:


[mm] x²-\bruch{x}{y}+1+\bruch{1}{y}=0 [/mm]


[mm] \red{p}=\bruch{1}{y} [/mm]


[mm] \blue{q}=1+\bruch{1}{y} [/mm]


und das setzen wir ein und erhalten:


[mm] x_{1,2}=-\bruch{\red{\bruch{1}{y}}}{2}\pm\wurzel{\left(\bruch{\red{\bruch{1}{y}}}{2}\right)^2-\blue{\left(1+\bruch{1}{y}\right)}} [/mm]


umgeformt:


[mm] x_{1,2}=-\bruch{1}{2y}\pm\wurzel{\left(\bruch{1}{2y}\right)^2-1-\bruch{1}{y}} [/mm]


nun noch unter der Wurzel das Quadrat auflösen und alles in einen Bruch zusammenfassen.



Liebe Grüße
Herby

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Umstellen nach x: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:43 Fr 13.10.2006
Autor: KnockDown

Hi Herby,

ja meine lange Fälligkeitszeiten kommen aus zwei Gründen zustande 1. Ich will es auf jeden Fall verstehen egal wann! 2. Ich Matheübungsblätter und diese arbeite ich jetzt sozusagen "vor" falls es im Stoff weiter geht. Deshalb habe ich noch lange Zeit :-)

Danke für deine Ausführliche Erklärung jetzt habe ich das auch verstanden :-)


Dankeschön


Gruß Thomas

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