Umschreiben von \wurzel{i} < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:06 Di 30.09.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
eine blöde Frage:
Wer kann mir folgendes erklären:
1.) Wieso ist [mm] \wurzel{i}=\bruch{1}{2} \cdot \wurzel{2}(1+i) [/mm] bzw. [mm] \wurzel{-i}=\bruch{1}{2} \cdot \wurzel{2}(1-i) [/mm] ?
2.) Wieso folgt daraus, dass [mm] x^{4}+a^{4}=(x^{2}+a \cdot \wurzel{2} \cdot x)(x^{2}-a \cdot \wurzel{2} \cdot [/mm] x)?
Dankeschön.
LG kiri
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Di 30.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> eine blöde Frage:
> Wer kann mir folgendes erklären:
> 1.) Wieso ist [mm]\wurzel{i}=\bruch{1}{2} \cdot \wurzel{2}(1+i)[/mm]
> bzw. [mm]\wurzel{-i}=\bruch{1}{2} \cdot \wurzel{2}(1-i)[/mm] ?
>
Weil $( [mm] \bruch{1}{2} \cdot \wurzel{2}(1+i))^2 [/mm] = i $
und $( [mm] \bruch{1}{2} \cdot \wurzel{2}(1-i))^2 [/mm] = -i $
> 2.) Wieso folgt daraus, dass [mm]x^{4}+a^{4}=(x^{2}+a \cdot \wurzel{2} \cdot x)(x^{2}-a \cdot \wurzel{2} \cdot[/mm]
> x)?
Das stimmt doch hinten und vorne nicht! Multipliziere doch mal den rechts stehenden Ausdruck aus !
FRED
>
> Dankeschön.
>
> LG kiri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Di 30.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> eine blöde Frage:
> Wer kann mir folgendes erklären:
> 1.) Wieso ist [mm]\wurzel{i}=\bruch{1}{2} \cdot \wurzel{2}(1+i)[/mm]
> bzw. [mm]\wurzel{-i}=\bruch{1}{2} \cdot \wurzel{2}(1-i)[/mm] ?
zunächst einmal:
![[]](/images/popup.gif) Wiki: Wurzeln aus komplexen Zahlen
Für [mm] $\sqrt{i}$ [/mm] hat man also die komplexe GLeichung [mm] $z^2=i$ [/mm] zu lösen. Entweder benutzt Du dann, was Du auch bei Wiki findest (dort mit [mm] $\black{a}=i$, $|\black{i}|=1$ [/mm] und [mm] $\varphi=\pi/2$):
[/mm]
[mm] $z_{k}=\sqrt[2]{|i|}\;*\;\exp\left(\frac{i (\pi/2)}{2}+k*\frac{2\pi\,i}{2}\right)\;$ $\;\;\;(k=0,1)\,,$
[/mm]
oder Du setzt an mit:
[mm] $\black{z}=x+i*y$ [/mm] (mit [mm] $x=\text{Re}(z), y=\text{Im}(z) \in \IR$) [/mm] und berechnest die Lösungen $x,y$ der Gleichung
[mm] $$(x+i*y)^2=i\,,$$
[/mm]
bzw. nach einem kleinen Zwischenschritt: die Lösungen der Gleichung
[mm] $$x^2-y^2+i*(2xy-1)=0\,.$$
[/mm]
Um damit weiterarbeiten zu können, beachte, dass rechterhand die komplexe Zahl [mm] $\black{0}=0+i*0$ [/mm] steht und daher linkerhand sowohl der Realteil der dort stehenden komplexen Zahl als auch der Imaginärteil beide [mm] $\black{=}0$ [/mm] sein müssen. Du erhälst so also zwei Gleichungen mit zwei (reellen) Variablen...
Das hier wäre sozusagen der konstruktive Weg, um [mm] $\sqrt{i}$ [/mm] auszurechnen, den ich zu Freds Antwort ergänzen wollte.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:49 Di 30.09.2008 | | Autor: | EasyLee |
Du findest auch unter der Begriff Eulersche Identität etwas darüber. Komplexe Zahlen über den Kreis und Drehung eines Strahls zu verstehen ist hilfreich. Gut ist wenn Du alle Darstellungsmöglichkeiten der komplexen Zahlen kennst und umformen kannst.
http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Identit%C3%A4t#Verbindung_der_Analysis_zur_Trigonometrie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 Do 09.10.2008 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
ich danke euch vielmals! :)
Liebe Grüße
kiri
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