Umordnung von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Sa 31.03.2007 | | Autor: | DerD85 |
Satz: Umordnung einer absolut konvergenten Reihe
Sei [mm]\summe_{n=0}^{\infty}z_n[/mm] absolut konvergent und es sei [mm]z=\summe_{n=0}^{\infty}z_n[/mm]. Dann konvergiert auch jede Umordnung von [mm]\summe_{n=0}^{\infty}z_n[/mm] gegen z.
Meine frage:
Warum muss ich absolute Konvergenz fordern? MIr wird das hier (auch nicht aus dem Beweis) deutlich :(.
Dankefür eure Hilfe,
Dennis
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Hallo Dennis,
vielleicht kann ich das an einem Gegenbsp. verdeutlichen?
Nehmen wir [mm] \summe_n\frac{(-1)^n}{n+1}
[/mm]
[mm] =1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}\pm...
[/mm]
Jetzt ordnen wir mal auf 2 verschiedene Weisen um:
(1) [mm] 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}\pm...
[/mm]
[mm] =1+\frac{1}{2}-2\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-2\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-2\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}-2\frac{1}{8}\pm....
[/mm]
[mm] =1+\frac{1}{2}-1+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}-\frac{1}{4}\pm....
[/mm]
[mm] \longrightarrow [/mm] 0
(2) [mm] 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}\pm...
[/mm]
[mm] =\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)+....
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2}+\frac{1}{12}+\frac{1}{30}+.....\ge\frac{1}{2}
[/mm]
Damit wäre also [mm] 0=\limes_{k\rightarrow\infty}\summe_{n=0}^{k}\frac{(-1)^n}{n+1}\ge\frac{1}{2}
[/mm]
Dh. verschiedene Umordungen können zu verschiedenen Reihenwerten führen.
Daher das Tamtam um den Begriff "unbedint konvergent" - also für jede Umordung konvergent ( gleichwertig zum Begriff "absolut kgt")
Gruß
schachuzipus
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