Umkreismittelpunkt,Umkreis etc < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist das Dreieck
A (15/1)
B (11/13)
C (3/5)
Berechne den Umkreismittelpunkt, die Gleichung des Umkreises, die Tangenten der Eckpunkte, deren Winkel und die des Dreiecks. |
Mein Versuch: Umkreismittelpunkt:
HBC [mm] =\bruch{C+B}{2} [/mm] = [mm] \bruch{\vektor{11\\ 13}+\vektor{3 \\ 5}}{2} [/mm] = [mm] \vektor{7 \\ 9}
[/mm]
Nun C-B= [mm] \vektor{3 \\ 5}-\vektor{11 \\ 13}=\vektor{-8 \\ -8}
[/mm]
=> [mm] -8x-8y=\vektor{7 \\ 9}*\vektor{-8 \\ -8}
[/mm]
-8x-8y= -128
HAB= [mm] \bruch{\vektor{15 \\ 1}+\vektor{3 \\ 5}}{2}= \vektor{13 \\ 7}
[/mm]
B-A = [mm] \vektor{11 \\ 13}-\vektor{15 \\ 1}= \vektor{-4 \\ 12}
[/mm]
=> -4x+12y= [mm] \vektor{-4 \\ 12}*\vektor{13 \\ 7}
[/mm]
-4x+12y= 32
U: -8x-8y=-128
-4x+12y=32 /*2
-8x-8y=-128
-8x+24y=64
-32y=-192
y=6
x: -8x-8*6=-128
x=10
U= (10/6)
Umkreisgleichung:
k:(x-xm)²+(y-ym)²=r²
(15-10)²+(1-6)²=r²
25+25=r²
r²=50
Kreisgleichung:
k:(x-10)²+(y-6)²=50
Tangenten:
Tangentenspaltform:
(x-xm)*(xa-xm)+(y-ym)*(ya-ym)
Ta: (x-10)*(15-10)+(y-6)*(1-6)
=(x-10)*5+(y-6)*(-5)
=5x-50+5y+30
Ta: 5x-5y=20
Tb: (x-10)*(11-10)+(y-6)*(13-6)
=x-10+7y-42
Tb= x+7y=52
Tc: (x-10)*(3-10)+(y-6)*(5-6)
-7x+70-y+6
-7x-y=-76 /*(-1)
7x+y=76
Winkel:
cos phi [mm] =\bruch{\overrightarrow{g1}*\overrightarrow{g2}}{/\overrightarrow{g1}/*/\overrightarrow{g2}/}
[/mm]
[mm] \bruch{\vektor{5 \\ -5}*\vektor{1 \\ 7}}{\wurzel{50}*\wurzel{50}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\vektor{5 \\ -35}}{50}
[/mm]
[mm] cos=\bruch{-30}{50}
[/mm]
ca. 126,87°
Stimmen meine Berechnungen und wie berechne ich mir nun die Winkel des Dreicks?
Meine Überlegung wäre mittels Spitze-Schaft die Seitenlängen zu berechnen und dann tan bzw. sin bzw. cosinus anzuwenden?
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Um die Tangente an den Punkt zu legen benötige ich nun also die Formel
(T-M)*(X-M)=r²
http://www.mathe-online.at/materialien/sarah.wendler/files/Textfiles/Kreistangenten.pdf
bei ta => (15-10)*(1-6)=50???
Doch wie stelle ich damit eine Tangente auf?
Kann mir bitte jemand erklären wie ich die Spaltform der Tangente hier richtig anwende?
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Hallo MathematikLosser,
> Um die Tangente an den Punkt zu legen benötige ich nun
> also die Formel
> (T-M)*(X-M)=r²
>
> http://www.mathe-online.at/materialien/sarah.wendler/files/Textfiles/Kreistangenten.pdf
>
> bei ta => (15-10)*(1-6)=50???
> Doch wie stelle ich damit eine Tangente auf?
>
> Kann mir bitte jemand erklären wie ich die Spaltform der
> Tangente hier richtig anwende?
Die Gleichung der Tangente lautet doch:
[mm](x-xm)*(xa-xm)+(y-ym)*(ya-ym)=\red{50}[/mm]
Bei Deinen Berechnungen der Tangenten
hast Du nur die linke Seite berechnet.
Gruss
MathePower
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