Umkehrregel < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 So 19.08.2007 | | Autor: | aliq |
| Aufgabe | Ermittle den Wert der Ableitung [mm]f'[/mm] von [mm] f [/mm] bei [mm]x_{0}[/mm] mit Hilfe der Umkehrfunktion [mm]f\*[/mm]
[mm] f: y= 2*\wurzel[4]{x} [/mm]
[mm] x_{0}=3 [/mm] |
Hi,
Ich muss sagen dass ich im Umgang mit der Umkehrregel wirklich nicht so viel Ahnung habe, da das Buch welches ich habe nicht soviel darueber sagt bzw keine gute Erklaerung hat.
Ich dachte wenn ich mit den Informationen die ich habe versuche ein paar Bsp zu rechnen wird es schon irgendwie funktionieren und ich lerne wie ich es wirklich rechnen kann , jedoch war dies nicht so und ich habe keine ahnung wie ich das problem angehen koennte.
Was ich weiss, oder was mir das Buch sagt ist eigeltich nur
[mm] f\*\left(f\left(x_{0}\right)\right) = \bruch{1}{f'\left(x_{0}\right)}[/mm]
dann gibt es hier noch ein probebsp dazu welches ich hier auch einfach mal posten werde:
[mm] f: y=\wurzel[3]{x}[/mm] [mm]x_{0}=8[/mm]
[mm] f: y=\wurzel[3]{x} = f\*: y=x^3 [/mm]
was mir sagt das ich aus [mm]^{1/3}[/mm] [mm]^{3/1}[/mm] machen kann.
weiter rechnen sie:
[mm] f\*': y=3x^2 \rightarrow f\*'\left(f\left(8\right)\right)= f\*'\left(2\right)=3*4=12=\bruch{1}{f'\left(8\right)} \rightarrow f'\left(8\right) = \bruch{1}{12}[/mm]
aus dem was ich hier "lernen" konnte habe ich versucht das andere bsp zu rechnen nur das problem welches ich jetzt habe ist das die loesung des beispiels welches ich nicht rechnen kann [mm]\bruch{1}{\left(2*\wurzel[4]{3^3}\right) [/mm] sein soll und ich beim besten willen nicht einmal nahe komme.
Ich hoffe jemand koennte mir helfen bzw mir ein paar Ideen oder Ansaetze geben 
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ermittle den Wert der Ableitung [mm]f'[/mm] von [mm]f[/mm] bei [mm][mm]x_{0}[/mm][/mm] mit Hilfe der Umkehrfunktion [mm]f\*[/mm]
>[mm]f: y= 2*\wurzel[4]{x}x_{0}=3[/mm]
> aus dem was ich hier "lernen" konnte habe ich versucht
> das andere bsp zu rechnen nur das problem welches ich
> jetzt habe ist das die loesung des beispiels welches
> ich nicht rechnen kann [mm]\bruch{1}{\left(2*\wurzel[4]{3^3}\right)[/mm]
> sein soll und ich beim besten willen nicht einmal nahe komme.
Aus $f: [mm] y=2\sqrt[4]{x}$ [/mm] folgt, [mm] $f^{\star}: y=\frac{x^4}{16}$. [/mm] Die Ableitung von [mm] $f^{\star}(x)$ [/mm] ist somit [mm] $f^{\star}'(x)=\frac{x^3}{4}$. [/mm] Nun berechnen wir also die Ableitung von [mm] $f'(x_0)$ [/mm] mit Hilfe dieser Ableitung der Umkehrfunktion [mm] $f^{\star}$:
[/mm]
[mm]f'(x_0)=\frac{1}{f^{\star}'(f(x_0))}=\frac{1}{\frac{\left(2\sqrt[4]{x_0}\right)^3}{4}}=\frac{1}{2\sqrt[4]{x_0}^3}[/mm]
Schliesslich müsste man noch [mm] $x_0=3$ [/mm] einsetzen (und, falls gewünscht, den Exponenten $3$ in die Wurzel verschieben), aber dies dürfte kaum noch ein ernsthaftes Problem sein.
Da Du nicht geschrieben hast, was Du selbst gerechnet hast, kann ich Dir nur empfehlen, diese (ja nicht ungeheuer langatmige) Musterlösung mit Deinen eigenen Notizen zu vergleichen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 So 19.08.2007 | | Autor: | aliq |
Hallo,
vielen vielen ank fuer deine antwort.
Es tut mir leid dass ich meine loesungswege nicht in die frage mit einbezogen habe, jedoch sehe ich jetzt dass ich wirklich einen grossen unsinn gerechnet habe.
ich wollte fragen wie du von
$ f: [mm] y=2\sqrt[4]{x} [/mm] $ auf
$ [mm] f^{\star}: y=\frac{x^4}{16} [/mm] $
die [mm]x^4[/mm] verstehe ich nur die 16 nicht.
Und dann noch eine frage zu dem vorletzten sowie letztem schritt:
$ [mm] \frac{1}{\frac{\left(2\sqrt[4]{x_0}\right)^3}{4}}=\frac{1}{2\sqrt[4]{x_0}^3} [/mm] $
Wieso ist die 4 ploetzlich weg?
Es tut mir leid fuer diese weiteren fragen, ich bin leider ein komplettes mathe antitalent.
Danke jedenfalls,
lg,
alicia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 So 19.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alicia!
> ich wollte fragen wie du von
> [mm]f: y=2\sqrt[4]{x}[/mm] auf
> [mm]f^{\star}: y=\frac{x^4}{16}[/mm]
>
> die [mm]x^4[/mm] verstehe ich nur die 16 nicht.
Du teilst die Gleichung erst durch $2_$ und nimmmst sie dann "hoch 4". Und es gilt ja: [mm] $2^4 [/mm] \ = \ 16$ !
> Und dann noch eine frage zu dem vorletzten sowie letztem schritt:
>
> [mm]\frac{1}{\frac{\left(2\sqrt[4]{x_0}\right)^3}{4}}=\frac{1}{2\sqrt[4]{x_0}^3}[/mm]
> Wieso ist die 4 ploetzlich weg?
Hier wurde zunächst gerechnet [mm] $2^3 [/mm] \ = \ 8$ und dann durch $4_$ gekürzt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 So 19.08.2007 | | Autor: | aliq |
Hallo,
ok die letzten beiden schritte verstehe ich nun, ich hab die eine klammer nicht gesehen weshalb es keinen sinn machte.
aber was genau meinst du mit 'du teilst du gleichung erst durch zwei'?
bzw was passiert dann mit der 4ten wurzel?
und was passiert mit dem y?
Es tut mir leid fuer diese komischen fragen aber ich verstehe es gerade wirklich nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 So 19.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alicia!
$y \ = \ [mm] 2*\wurzel[4]{x}$ $\left| \ : \ 2$
$\bruch{y}{2} \ = \ \wurzel[4]{x}$ $\left| \ (...)^4$
$\left(\bruch{y}{2}\right)^4 \ = \ x$
$\bruch{y^4}{2^4} \ = \ x$
Gruß
Loddar
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 So 19.08.2007 | | Autor: | aliq |
So, wiedermal eine frage.
ja ich habe es immer noch nicht ganz begriffen.
Deine rechenschritte machen sinn und sind vollkommen logisch jedoch komme ich immernoch nicht auf [mm] y=x^4/16 [/mm]
bzw ich weiss nicht was ich mit dem [mm] y^4 [/mm] anfangen soll.Es tut mir leid fuer diese fragen, hoffe dass du die geduld noch einmal aufbringen kannst und mir damit helfen koenntest
vielen dank schonmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 So 19.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alicia!
Mit meiner o.g. letzten Zeile bist Du doch schon fast fertig: nur noch [mm] $2^4$ [/mm] ausrechnen sowie die Variablennamen $x_$ und $y_$ vertauschen ... fertig!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 So 19.08.2007 | | Autor: | aliq |
Ja ich frage eindeutig zuviel.
wieso darf ich die variablen einfach 'vertauschen' ?
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Hallo, schau mal in Deine Aufgabenstellung, dort steht ja "UMKEHRFUNKTION", noch ein Hinweis, ich benenne immer erst die Variablen um, mache aus y das x und aus x das y, dann nach y umstellen, du erhälst die Umkehrfunktion,
Steffi
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 03:45 Mo 20.08.2007 | | Autor: | aliq |
Hallo,
wollte mich eigentlich schon vorher bei dir fuer den Tipp mit den variablen am anfang vertauschen bedanken, jedoch funktionierte mein internet dann fuer paar stunden nicht.
Ja jedenfalls danke
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