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Forum "Analysis-Sonstiges" - Umkehrfunktion Polynom 2. Grad
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Umkehrfunktion Polynom 2. Grad: Methode gesucht
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 14:41 Mo 17.04.2006
Autor: BeniMuller

Aufgabe
Die Funktion g: x  [mm] \mapsto \bruch{-1}{5}x^{2}+ \bruch{8}{5}x [/mm]
mit  [mm] D_{g} [/mm] = ]- [mm] \infty;4] [/mm] ist umkehrbar. Bestimme den Term [mm] g^{-1}(x) [/mm] der Umkehrfunktion [mm] g^{-1} [/mm] von g.

>Nix rumgepostet<

Mit ist klar,
- dass g eine Parabel ist
- dass [mm] g^{-1} [/mm] auch eine Parabel ist
- dass der Definitionsbereich so eingeschrenkt werden musste, dass es für ein y nur genau ein x Wert gibt.

Ich habe für [mm] g^{-1} [/mm] angesetzt:

[mm] g^{-1}(y)=py^{2}+qy [/mm]

der Konstante Term fällt weg, da g und [mm] g^{-1} [/mm] durch den Nullpunkt gehen.

Bei einer linearen Funktion würde ich jetzt einfach zwei Werte aus der Wertetabelle von g(x) eingeben und meinem Taschenrechner mit Solve beschäftigen.

Aber durch 2 Punkte kann ich ja beliebig viele Parabeln legen.

Aber was ist bei einem Polynom zu tun ?

Vielleicht hilft die Ableitung, d.h. wenn die Steigung von g  in einem Punkt P = m ist wäre die Steigung von [mm] g^{-1}= \bruch{1}{m}. [/mm]
Am Schluss muss ich natürlich noch die Variablen vertauschen
        
Bezug
Umkehrfunktion Polynom 2. Grad: p/q-Formel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:52 Mo 17.04.2006
Autor: Loddar

Hallo Beni!


> Mit ist klar,
> - dass g eine Parabel ist

[ok]


> - dass [mm]g^{-1}[/mm] auch eine Parabel ist

[notok] Sieh Dir das Ergebnis am Ende nochmal an ...


> - dass der Definitionsbereich so eingeschrenkt werden
> musste, dass es für ein y nur genau ein x Wert gibt.

[ok]



> Ich habe für [mm]g^{-1}[/mm] angesetzt:  [mm]g^{-1}(y)=py^{2}+qy[/mm]

Also gilt:   $x \ = \ [mm] -\bruch{1}{5}*y^2+\bruch{8}{5}*y$ $\gdw$ [/mm]   $-5x \ = \ [mm] y^2-8*y$ [/mm]

Nun alles auf eine (die rechte Seite) bringen und die MBp/q-Formel anwenden. Welche der beiden Varianten [mm] $\red{+} [/mm] \ [mm] \wurzel{...}$ [/mm] oder [mm] $\red{-} [/mm] \ [mm] \wurzel{...}$ [/mm] die richtige ist, ergibt sich aus dem vorgegebenen Definitionsbereich.


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Umkehrfunktion Polynom 2. Grad: Dank für Supertipp
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:18 Mo 17.04.2006
Autor: BeniMuller

Hallo Loddar !

Auf die p/q Formel war ich beim Suchen im MatheRaum schon gestossen, hatte ihr aber nicht zugetraut, dass sie genau das leistet, war ich brauchte.

Meine Umkehrfunktion heisst nun:

[mm] g^{-1}(x)=y=4 \red{+} \wurzel{16-5x} [/mm]

Danke für die schnelle und effiziente Hilfe.
Bezug
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