Umkehrfunktion, D(f), W(f) < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f(x)= [mm] \wurzel{2-x}-1
[/mm]
Gesucht:
D(f), W(f)
[mm] D(f(x)^{-1}), W(f(x)^{-1}), f^{-1}), [/mm] |
Hallo zusammen
Prinzipiel: Wie berechne ich den Wertebereich?
Definitionsbereich wäre hier: Ich muss schauen, dass es unter der Wurzel nie ein negatives Vorzeichen gibt.
Also 2-x >= 0 --> x <= 2
D{x<=2} -->Stimmt das?
Gut, wie bestimme ich nun den Wertebereich?
Umkehrfunktion: [mm] y=\wurzel{2-x}-1 [/mm] -->nach x auflösen
Ich wollte das so machen:
y = [mm] \wurzel{2-x}-1 [/mm] /+1
y+1 = [mm] \wurzel{2-x} [/mm] /qaudrieren
[mm] (y+1)^{2} [/mm] = 2-x / +x
[mm] (y+1)^{2}+x [/mm] = 2 / [mm] -(y+1)^{2}
[/mm]
x = 2 - [mm] (y+1)^{2}
[/mm]
Umkehrfunktion wäre also:
y = 2 - [mm] (x+1)^{2}
[/mm]
Wenn ich jetzt aber beide Funktionien plotte, ist meine Umkehrfunktion [mm] (f^{-1}) [/mm] nicht wirklich das Spiegelbild von f(x) an x=y. :-( --> wo mache ich einen Rechenfehler?
Ja, Defintionsbereich hier = R? oder hab ich einen Wert übersehen, der x nicht ahnehmen darf?
mit dem Wertebereich bin auch hier ganz im unklaren.
Freue mich über jede Anregung oder Tipp
schon mal Danke im Voraus
gruess Tobi
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Hi, Little_doc,
> f(x)= [mm]\wurzel{2-x}-1[/mm]
>
> Gesucht:
> D(f), W(f)
> [mm]D(f(x)^{-1}), W(f(x)^{-1}), f^{-1}),[/mm]
> Prinzipiell: Wie berechne ich den Wertebereich?
Hängt immer von der Funktion ab!
> Definitionsbereich wäre hier: Ich muss schauen, dass es
> unter der Wurzel nie ein negatives Vorzeichen gibt.
> Also 2-x >= 0 --> x <= 2
> D{x<=2} -->Stimmt das?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Gut, wie bestimme ich nun den Wertebereich?
Durch Nachdenken: Für einen Wurzelterm gilt: [mm] \wurzel{...} \ge [/mm] 0.
Und nun wird halt 1 subtrahiert. Ergebnis?!
> Umkehrfunktion: [mm]y=\wurzel{2-x}-1[/mm] -->nach x auflösen
>
> Ich wollte das so machen:
> y = [mm]\wurzel{2-x}-1[/mm] /+1
> y+1 = [mm]\wurzel{2-x}[/mm] /qaudrieren
> [mm](y+1)^{2}[/mm] = 2-x / +x
> [mm](y+1)^{2}+x[/mm] = 2 / [mm]-(y+1)^{2}[/mm]
> x = 2 - [mm](y+1)^{2}[/mm]
>
> Umkehrfunktion wäre also:
> y = 2 - [mm](x+1)^{2}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt aber beide Funktionien plotte, ist meine
> Umkehrfunktion [mm](f^{-1})[/mm] nicht wirklich das Spiegelbild von
> f(x) an x=y. :-( --> wo mache ich einen Rechenfehler?
Gibt keinen Rechenfehler! Der Funktionsterm stimmt!
> Ja, Defintionsbereich hier = R? oder hab ich einen Wert
> übersehen, der x nicht annehmen darf?
Naja: Der Denitionsbereich ist natürlich die oben bestimmte Wertemenge der ursprünglichen Funktion f, nicht aber ganz [mm] \IR.
[/mm]
> mit dem Wertebereich bin auch hier ganz im unklaren.
Ist gleich der Definitionsmenge der ursprünglichen Funktion und demnach gilt: y [mm] \le [/mm] 2.
mfG!
Zwerglein
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> > Gut, wie bestimme ich nun den Wertebereich?
>
> Durch Nachdenken: Für einen Wurzelterm gilt: [mm]\wurzel{...} \ge[/mm]
> 0.
> Und nun wird halt 1 subtrahiert. Ergebnis?!
Dann müsste gelten W(f)>=0-1
Stimmt auch mit dem Graphen der Funktion überein. 
Darf man grundsätzlich sagen
W(f) = [mm] D(f^{-1})
[/mm]
[mm] W(f^{-1}) [/mm] = D(f)
lg Tobi
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Hallo little_doc,
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> > > Gut, wie bestimme ich nun den Wertebereich?
> >
> > Durch Nachdenken: Für einen Wurzelterm gilt: [mm]\wurzel{...} \ge[/mm]
> > 0.
> > Und nun wird halt 1 subtrahiert. Ergebnis?!
>
> Dann müsste gelten W(f)>=0-1
[mm]W\left(f\right)=\left[-1,\infty\right)[/mm]
>
> Stimmt auch mit dem Graphen der Funktion überein.
>
> Darf man grundsätzlich sagen
> W(f) = [mm]D(f^{-1})[/mm]
> [mm]W(f^{-1})[/mm] = D(f)
>
Ja, weil Funktionen nur in ihrem Monotoniebereich umkehrbar sind.
> lg Tobi
>
>
Gruß
MathePower
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