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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Umkehfunktion von x(t) = a * (t * sin (t)) |
Hallo, ich verzweifle grade an der Bestimmung der Umkehrfunktion.
Hier mal mein Ansatz:
x = a * (t * sin (t))
[mm] \bruch{a}{4} [/mm] = t * sin (t)
Wie kann ich jetzt die Gleichung nach t freistellen...mit dem arcsin funktuniert das bei mir irgendwie icht, bekomme t nie alleine.
Vielen Dank für die Hilfe
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Hallo angreifer,
was sagt Dir das Faktum, dass x(t)=0 für alle [mm] x=k\pi, k\in\IZ [/mm] ist?
Kann es sein, dass es auch eine Darstellung für y(t) gibt, Du also eine Funktion in Parameterform hast?
Wenn nicht, macht die Aufgabe nicht viel Sinn (sonst womöglich auch nicht, aber das sehen wir dann...)
lg
reverend
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Ja, es gibt eine Darstellung für y(t) = a*(1-cos (t))
wir sollen die Steigung bei [mm] x_{0}= a*(\bruch{\pi}{2} [/mm] - 1) bestimmen
als Hilfe haben wir nur bekommen:
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{dy}{dt} [/mm] * [mm] \bruch{dt}{dx}
[/mm]
da hatte ich gedacht, dass [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] die Ableitung der Umkehrfunktion von x(t) ist. Das scheint ja falsch zu sein.
[mm] \bruch{dy}{dt} [/mm] ist aber die Ableitung von y(t) nach t oder?
also: y'(t) = -a * (-sin t) = a * sin t
Wie muss ich denn hier weiter vorgehen?
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Hallo angreifer,
das sieht schon viel besser aus.
Ableitungen nach t schreibt man übrigens in der Physik und häufig auch in der Mathematik statt mit den kleinen Strichen mit der entsprechenden Zahl von von Punkten, so dass [mm] \bruch{dx}{dt}=\dot{x}(t) [/mm] oder kurz: [mm] \dot{x}.
[/mm]
Bedenke, dass [mm] \bruch{dt}{dx}=\bruch{1}{\bruch{dx}{dt}}
[/mm]
und damit [mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{\ \bruch{dy}{dt}\ }{\ \bruch{dx}{dt}\ }=\bruch{\dot{y}}{\dot{x}}
[/mm]
Du brauchst also nur noch die Ableitung von x(t) nach t.
Eine Umkehrfunktion ist übrigens auch gar nicht explizit zu bilden, nicht einmal stückweise.
Kommst Du damit jetzt weiter?
lg
reverend
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Ja damit komme ich weiter.
Hab jetzt die Ableitung von x(t) gebildet:
x'(t) = a * (sin t + t * cos t)
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{a * sin t}{a * (sin t + t * cos t)} [/mm] = [mm] \bruch{sin t}{(sin t + t * cos t)} [/mm]
und da muss ich jetzt einfach nur noch den Wert für [mm] x_{0} [/mm] einsetzen oder muss ich jetzt [mm] x_{0} [/mm] in die Gleichung von x(t) einsetzen und ein t errechnen, das ich dann in [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] einsetze?
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Hallo nochmal,
ich bin gerade im wesentlichen nicht da...
Wenn Du nur ein [mm] x_0 [/mm] hast, musst Du tatsächlich erst das dazugehörige (genauer: ein dazugehöriges!) [mm] t_0 [/mm] bestimmen und dann einsetzen.
Leider ist Dein x(t) nicht nach t auflösbar, so dass Du nur eine numerische Näherung finden kannst, durch Probieren oder durch gezieltere Approximationsverfahren (z.B. Newton).
lg
reverend
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