Umkehrfunktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:03 Di 18.08.2009 | | Autor: | deltax |
| Aufgabe | Umkehrfunktion von:
a(t) = w * ( t + b * exp(-t/b) - b)
w, b konst |
Hallo,
Ich suche die Umkehrfuntion (auflösung nach "t", t(a)=...) der obigen Funktion. Zur Vereinfachung habe ich mal w=b=1 gesetzt. Ich komme leider nicht drauf, wie ich "a(t) = t + exp(-t) - 1" nach "t" auflösen kann.
Hinweise zur Lösung wären super.
Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:19 Di 18.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo deltax,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Diese Gleichung ist m.E. nicht geschlossen nach $t \ = \ ...$ auflösbar.
Wie lautet denn die exakte Aufgabenstellung? Sollst Du zeigen, dass diese Funktion umkehrbar ist?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Do 20.08.2009 | | Autor: | deltax |
| Aufgabe | Motor Beschleunigung:
[mm] w_{a} [/mm] : Winkelgeschwindigkeit
[mm] a_{a} [/mm] : Winkel
[mm] w_{a} [/mm] = [mm] w_{0} [/mm] * (1 - exp(-t/b))
[mm] a_{a} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{t}{w_{b} dt}
[/mm]
[mm] a_{a} [/mm] = [mm] w_{0} [/mm] * (t - b * exp(-t/b) - b)
Motor Bremsen:
[mm] w_{d} [/mm] : Winkelgeschwindigkeit
[mm] a_{d} [/mm] : Winkel
[mm] w_{d} [/mm] = [mm] w_{0} [/mm] * exp(-t/b)
[mm] a_{d} [/mm] = [mm] \integral_{t_{s}}^{t_{h}}{w_{d} dt}
[/mm]
[mm] a_{d} [/mm] = [mm] w_{0} [/mm] * b * (- [mm] exp(-t_{h}/b) [/mm] + [mm] exp(-t_{s}/b) [/mm] )
[mm] t_{s} [/mm] : Umschaltzeitpunkt zwischen Beschleunigen und Bremsen
[mm] t_{h} [/mm] : Zeitpunkt zu der der Motor quasi stillsteht
[mm] t_{h} [/mm] = -b * ln(x)
x: Wert an dem ich annehme das der Motor stillsteht, aufgrund der e-Funktion würde Null ja nie erreicht werden, allerdings würde Reibung den Motor irgendwann anhalten.
Zurückgelegter Winkel:
a = [mm] a_{b} [/mm] + [mm] a_{d}
[/mm]
Gesucht: Der Zeitpunkt an dem zwischen Beschleunigen und Bremsen umgeschaltet werden muss. |
Die Aufgabe habe ich mir selber gestellt, beim Umformen der Gleichungen kamm ich immer wieder auf die Gleichung oder eine ähnliche die ich in meinem ersten Beitrag beschrieben hatte.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Do 20.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. im ersten Integral ist ein vorzeichenfehler.
2. du kannst das nur numerisch nach t aufloesen.
(wieso nimmst du eine exponentielle Winkelbeschleunigung)Beschleunigung?)schon Gleichngen der form [mm] x=e^x [/mm] kann man nicht explizit loesen.
Gruss leudart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 Do 20.08.2009 | | Autor: | deltax |
Hallo,
Danke für die Antwort.
Ja den Vorzeichen Fehler hab ich falsch abgetipt, sorry.
Ok, ich werds Numerisch machen, hatte auch schon die Vermutung das das nicht anders geht.
Ich werde
a = [mm] a_a [/mm] + [mm] a_d [/mm]
zu
a = [mm] a_a [/mm] + [mm] a_d [/mm] + e
erweitern, woraus folgt:
e = a - [mm] a_a [/mm] - [mm] a_d [/mm]
t verändere ich dann solange bis der Fehler "e" einen vorgegebenen Wert unterschreitet.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 Di 18.08.2009 | | Autor: | Andrey |
Zum einen scheint mir eine explizite Auflösung nach t mit elementaren Funktionen unmöglich zu sein, zum anderen würde ich gerne mal den Definitionsbereich sehen, sowas wie [mm] $e^{-t}+t+c$ [/mm] ist beispielsweise mit Sicherheit nicht injektiv.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:26 Do 20.08.2009 | | Autor: | SKYMEMiC |
Guck dir das mal an, vielleicht hilft dir das:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%5Ba+%3D+w+%2A+%28+t+%2B+b+%2A+exp%28-t%2Fb%29+-+b%29%2C+t%5D
|
|
|
|
