Umkehrfunktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Betrachten Sie
a) [mm] f(x)=\bruch{1}{1+sin^2(x)}
[/mm]
b) [mm] f(x)=\bruch{1}{1+sin(x^2)}
[/mm]
und geben Sie jeweils ein möglichst großes Intervall an, auf dem die Funktionen umkehrbar sind. Berechnen Sie die Umkehrfunktionen und rechnen Sie nach, dass
[mm] f^{-1}(f(x))=x [/mm] für alle x und [mm] f(f^{-1}(y))=y [/mm] für alle y |
a) [mm] f(x)=\bruch{1}{1+sin^2(x)}
[/mm]
f(x)=y
[mm] y=\bruch{1}{1+sin^2(x)}
[/mm]
[mm] sin(x)=+-\wurzel{\bruch{1}{y}-1}
[/mm]
[mm] f^{-1}(y)=arcsin(+-\wurzel{\bruch{1}{y}-1})
[/mm]
[mm] f^{-1}(x)=arcsin(+-\wurzel{\bruch{1}{x}-1})
[/mm]
für [mm] x\not=0
[/mm]
für [mm] y\not=0
[/mm]
richtig soweit? muss ich fall unterscheidungen machen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 So 27.07.2014 | | Autor: | chrisno |
Nicht richtig soweit.
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. An welcher Stelle verstößt Du gegen diesen Teil der Definition.
Weiterhin: der maximale Definitionsbereich der Umkehrfunktion ist falsch. Suche nach reellen Zahlen, für die der Funktionsterm nicht definiert ist.
Hast Du Dir mal den verlauf der Funktion skizziert? Falls es Dir an einem Programm dafür fehlt, geht es auch mit Nachdenken und einer Wertetabelle.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:49 So 27.07.2014 | | Autor: | arbeitsamt |
> Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. An welcher
> Stelle verstößt Du gegen diesen Teil der Definition.
wahrscheinlich als ich die wurzel gezogen habe.
richtig wäre
[mm] f^{-1}(y)=arcsin(\wurzel{\bruch{1}{y}-1})
[/mm]
[mm] f^{-1}(x)=arcsin(\wurzel{\bruch{1}{x}-1})
[/mm]
> Weiterhin: der maximale Definitionsbereich der
> Umkehrfunktion ist falsch. Suche nach reellen Zahlen, für
> die der Funktionsterm nicht definiert ist.
definitionsbereich [mm] -1\ge x\ge1 [/mm] ohne 0
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:40 Mo 28.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Chrisno,
> Nicht richtig soweit.
>
> Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. An welcher
> Stelle verstößt Du gegen diesen Teil der Definition.
>
> Weiterhin: der maximale Definitionsbereich der
> Umkehrfunktion ist falsch.
"den" wird es auch nicht geben. Hier spricht man besser von EINEM maximalen
Definitionsbereich. Beispiel:
Ich kann, für [mm] $f(x)=|x|\,$ [/mm] als Funktion [mm] $\IR \to [0,\infty)$
[/mm]
- deren Einschränkung auf [mm] $[0,\infty)$
[/mm]
als auch
- deren Einschränkung auf [mm] $(-\infty,0]$
[/mm]
umkehren. Das sind "schöne, *zusammenhängende* Mengen". Ich kann
aber sogar
- deren Einschränkung auf [mm] $((-\infty,0] \setminus (-\IN)) \cup \IN$
[/mm]
umkehren. Der letzte Definitionsbereich ist nicht mehr zusammenhängend...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:17 Mo 28.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Betrachten Sie
>
> a) [mm]f(x)=\bruch{1}{1+sin^2(x)}[/mm]
>
> b) [mm]f(x)=\bruch{1}{1+sin(x^2)}[/mm]
>
> und geben Sie jeweils ein möglichst großes Intervall an,
> auf dem die Funktionen umkehrbar sind. Berechnen Sie die
> Umkehrfunktionen und rechnen Sie nach, dass
>
> [mm]f^{-1}(f(x))=x[/mm] für alle x und [mm]f(f^{-1}(y))=y[/mm] für alle y
>
> a) [mm]f(x)=\bruch{1}{1+sin^2(x)}[/mm]
>
> f(x)=y
>
> [mm]y=\bruch{1}{1+sin^2(x)}[/mm]
>
> [mm]sin(x)=+-\wurzel{\bruch{1}{y}-1}[/mm]
>
> [mm]f^{-1}(y)=arcsin(+-\wurzel{\bruch{1}{y}-1})[/mm]
>
> [mm]f^{-1}(x)=arcsin(+-\wurzel{\bruch{1}{x}-1})[/mm]
>
> für [mm]x\not=0[/mm]
>
> für [mm]y\not=0[/mm]
>
> richtig soweit? muss ich fall unterscheidungen machen?
es wurde ja schon was dazu gesagt. Ich empfehle folgendes:
Überlege Dir erstmal einen größtmöglichen Definitionsbereich, der
zusammenhängend ist (das kann man sich bei Intervallen gut vorstellen:
es gibt keine 'isolierten' Punkte), auf dem die Funktion injektiv ist.
Für die Surjektivität brauchen wir dann das Bild unter [mm] $f\,$ [/mm] dieses
Definitionsbereiches. Entsprechend bauen wir eigentlich eine neue,
bijektive Funktion, die dann auch umkehrbar ist. Und das geht dann
auch beim Berechnen der Umkehrfunktion mit ein.
D.h., wir betrachten bspw. nun
$g [mm] \colon [-\pi/2,\;0] \to [1/2,\;1]$
[/mm]
mit
[mm] $g(x):=\frac{1}{1+\sin^2(x)}\,.$
[/mm]
Wie finden wir nun den Term für die Umkehrfunktion? Naja:
Für $y [mm] \in [1/2,\;1]$ [/mm] suchen wir ein (eindeutig bestimmtes) $x [mm] \in [-\pi/2,\;0]$ [/mm] mit
[mm] $g(x)=y\,,$
[/mm]
also
(I) [mm] $y=\frac{1}{1+\sin^2(x)}\,.$
[/mm]
Alles kein Ding, es wird genau so gerechnet, wie Du es getan hast, jedenfalls
bis zu einem gewissen Punkt:
(I) [mm] $\gdw$ $\sin^2(x)=\frac{1}{y}-1\,.$
[/mm]
Hier darf das Kontrollauge auch schonmal mitwirken, und beobachten,
dass für $1/2 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1$ auch $0 [mm] \le \frac{1}{y}-1\le [/mm] 1$ gilt. Aber das nur nebenher.
Es darf also durchaus
(I) [mm] $\gdw$ [/mm]
(II) [mm] $|\sin(x)|=\sqrt{\frac{1}{y}-1}$
[/mm]
gefolgert werden.
Beim nächsten Schritt sollten wir wachsam sein: Wir suchen ja [mm] $x\,$ [/mm] mit
[mm] $\red{-\pi/2} $\red{\le}$ $\red{x \le 0}$ [/mm] und [mm] $|\sin(x)|=\sqrt{\frac{1}{y}-1}\,.$
[/mm]
Entsprechend ist (II) äquivalent zu
[mm] $\sin(x)=-\sqrt{\frac{1}{y}-1}\,.$
[/mm]
Hier wäre also
[mm] $x=\text{arcsin}\left(-\sqrt{\frac{1}{y}-1}\right)$
[/mm]
hinzuschreiben.
Die Umkehrfunktion würde ich persönlich dann auch entweder in der Form
[mm] $g^{-1} \colon [1/2,\;1] \ni [/mm] y [mm] \mapsto g^{-1}(y):=\text{arcsin}\left(-\sqrt{\frac{1}{y}-1}\right) \in [-\pi/2,\;0]$
[/mm]
schreiben, oder mit einer anderen Variablen:
[mm] $g^{-1} \colon [1/2,\;1] \to [-\pi/2,\;0]$
[/mm]
wird definiert durch
[mm] $g^{-1}(t):=\text{arcsin}\left(-\sqrt{\frac{1}{t}-1}\right)\,.$
[/mm]
Du siehst hier auch schön: Der Definitionsbereich von [mm] $g\,$ [/mm] ist der Zielbereich
von [mm] $g^{-1}\,,$ [/mm] und der Zielbereich von [mm] $g\,$ [/mm] ist der Definitionsbereich von [mm] $g^{-1}\,.$
[/mm]
Schreibe ich mal
$h [mm] \colon [/mm] D [mm] \to [/mm] Z$
und sei [mm] $h\,$ [/mm] bijektiv, dann muss [mm] $h^{-1} \colon [/mm] Z [mm] \to [/mm] D$ zudem erfüllen:
$h [mm] \circ h^{-1}=\text{id}_Z$ [/mm] und [mm] $h^{-1} \circ h=\text{id}_D\,.$
[/mm]
Sowas solltest Du ja auch nachrechnen. In meiner Version hätte ich nun
noch nachzurechnen:
1. Für alle $x [mm] \in [-\pi/2,\;0]$ [/mm] gilt
[mm] $(g^{-1} \circ g)(x)=\text{id}_{[-\pi/2,\;0]}(x)=x$
[/mm]
sowie
2. Für alle $y [mm] \in [1/2\;,1]$ [/mm] gilt
$(g [mm] \circ g^{-1})(y)=\text{id}_{[1/2,\;1]}(y)=y\,.$
[/mm]
P.S. Zeichne Dir mal den Graphen von [mm] $g\,$ [/mm] (das ist ja nur der Graph von [mm] $f\,,$
[/mm]
wobei Du dort nur das "Graphenstück für [mm] $-\pi/2\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0$ brauchst). Dann
spiegele diesen an der Geraden [mm] $y=x\,$ [/mm] (45°-Gerade im ersten Quadranten).
Das, was Du siehst, sollte mit dem übereinstimmen, was Du siehst, wenn Du
den Graphen von [mm] $g^{-1}$ [/mm] zeichnest!
Diesen Zusammenhang kann man sich auch geometrisch herleiten:
Sei $h [mm] \colon [/mm] D [mm] \to [/mm] Z$ eine bijektive Funktion mit $D,Z [mm] \subseteq \IR\,.$ [/mm] Dann ist
der Graph von [mm] $h\,$ [/mm] gerade die Menge
[mm] $\{(x,y) \text{ mit }\;\;y=h(x):\;\; x \in D\}\,.$
[/mm]
Das Bild, was durch Spiegelung dieses Graphen an der genannten 45°-Geraden
entsteht, ist nun nichts anderes als
[mm] $\{(y,x) \text{ mit }\;\; y=h(x):\;\; x \in D\}\,.$
[/mm]
Wegen der Bijektivität kann die letzte Menge als
[mm] $\{(y,h^{-1}(y)):\;\; y \in Z\}$
[/mm]
geschrieben werden. (Denn: $y=h(x)$ ist dann äquivalent zu [mm] $x=h^{-1}(y)\,,$ [/mm] mit
[mm] $h^{-1} \colon [/mm] Z [mm] \to [/mm] D$ als Umkehrfunktion zu [mm] $h\,.$)
[/mm]
Das ist aber nichts anderes als der Graph von [mm] $h^{-1}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
