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| Aufgabe | | Es sei [mm] G=\IR [/mm] x [mm] (-\pi,\pi) [/mm] und f:G -> [mm] \IR^{2} [/mm] mit [mm] f(x,y)=\vektor{e^x*cos(y) \\ e^x*sin(y)}. [/mm] Bestimme f(G). Zeige, dass die Umkehrfunktion [mm] f^{-1}:f(G) [/mm] -> G existiert und auf f(G) differenzierbar ist. |
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Hallo, ich kenne zwar den Satz über Umkehrfunktionen, jedoch liefert dieser mir keine Information darüber, wie groß die Umgebung ist auf der f lokal umkehrbar ist. Kann mir hier jemand helfen? Weiterhin weiß ich nicht wie ich f(G) "bestimmen" soll. Ich kann zwar einfach die Menge entsprechend der Definition von f angeben, jedoch wüsste ich nicht, wie man diese Menge "geschickter" darstellen kann.
Ich bin für jeden Hinweis dankbar. Viele Grüße, Jessica.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:15 So 26.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
was meinst du denn mit "geschickt darstellen" ?
Du siehst ja z.B. aus der Schreibweise f(x,y) = [mm] \vektor{u \\ v} [/mm] = [mm] e^x*\vektor{cos(y) \\ sin(y)},
[/mm]
dass es sich bei f(G) um lauter Kreislinien mit dem Radius [mm] r=e^x [/mm] handelt, denen aber wegen des Definitionsbereichs von y jeweils ein Punkt [mm] (u\le0, [/mm] v=0) fehlt. Dieser Text lässt sich natürlich auch in mathematischer Symbolik hinschreiben.
Die eindeutige Umkehrung [mm] f^{-1} [/mm] : (u,v) [mm] \mapsto [/mm] (x,y) lässt sich ja leicht angeben.
Gruß Sax.
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Gut, dann gilt also [mm] f(G)=\{(x,y) \in \IR | x^2+y^2=e^{2x}\} [/mm] ohne den Punkt [mm] (0,-e^x). [/mm] Woher weiß ich nun, dass die Epsilon-Umgebung, welche mir der Satz über Umkehrfunktionen liefert, gerade f(G) ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:40 Mo 27.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Gut, dann gilt also [mm]f(G)=\{(x,y) \in \IR | x^2+y^2=e^{2x}\}[/mm]
> ohne den Punkt [mm](0,-e^x).[/mm]
Nein, das stimmt nicht.
Benutze doch für G und f(G) verschiedene Variablen.
$ G = [mm] \{(x,y)\in\IR^2 | x\in\IR $ und $ y\in (-\pi , \pi)\} [/mm] $
$ f(G) = [mm] \{(u,v)\in\IR^2\} [/mm] $ \ $ [mm] \{(u,0) | u\le0\} [/mm] $
> Woher weiß ich nun, dass die
> Epsilon-Umgebung, welche mir der Satz über
> Umkehrfunktionen liefert, gerade f(G) ist?
f(G) ist keine Epsilon-Umgebung irgendeines Punktes, aber die Umkehrung von f ist eine auf ganz f(G) definierte Funktion, du brauchst sie nur hinzuschreiben.
Es gibt so viele Sätze über Umkehrfunktionen, dass du am besten mal den Satz zitieren solltest, auf den du dich hier beziehen möchtest.
Gruß Sax.
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