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Forum "Ganzrationale Funktionen" - Umkehrbarkeit - ganzrtl. Fkt.
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Umkehrbarkeit - ganzrtl. Fkt.: siehe Diskussionsthema
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:33 Do 20.02.2020
Autor: mathejohannes

Aufgabe
Beweisen Sie, dass ganzrationale Funktionen ohne Extrema immer umkehrbar sind.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe mich mit dieser Aufgabenstellung befasst. Natürlich könnte man über den Anstieg gehen, welcher immer streng monoton ist und man diese Fkt. somit umkehren kann. Mein Lehrer wünscht sich jedoch eine andere Art Lösung. Vielen Dank im Voraus :)

        
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Umkehrbarkeit - ganzrtl. Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:49 Do 20.02.2020
Autor: fred97


> Beweisen Sie, dass ganzrationale Funktionen ohne Extrema
> immer umkehrbar sind.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich habe mich mit dieser Aufgabenstellung befasst.
> Natürlich könnte man über den Anstieg gehen, welcher
> immer streng monoton ist und man diese Fkt. somit umkehren
> kann. Mein Lehrer wünscht sich jedoch eine andere Art
> Lösung. Vielen Dank im Voraus :)

So, welcher Art denn?  Der  11.  Klasse   sollte  die Lösung  zugänglich   sein.

Das wird happig.

Sei  f eine solche Funktion.  Dann  hat  die Ableitung  keine Nullstellen.  Dann ist die  Ableitung  überall > 0 oder überall <0. Dazu braucht man den Zwischenwertsatz für stetige  Funktionen,  hattet ihr  den?

f ist  also streng monoton und damit injektiv.  Hast du  nun eine Idee,  warum  f auch surjektiv  ist ?

f ist also bijektiv.   Das war es.




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Umkehrbarkeit - ganzrtl. Fkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:12 Fr 21.02.2020
Autor: tobit09

Hi Fred,

in der Tat finde auch ich eine saubere Begründung für die 11. Klasse schwer.

> Sei  f eine solche Funktion.  Dann  hat  die Ableitung  
> keine Nullstellen.

Gegenbeispiel: [mm] f(x):=x^3 [/mm] .

Viele Grüße
Tobias

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Umkehrbarkeit - ganzrtl. Fkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:07 Fr 21.02.2020
Autor: fred97


> Hi Fred,
>  
> in der Tat finde auch ich eine saubere Begründung für die
> 11. Klasse schwer.
>  
> > Sei  f eine solche Funktion.  Dann  hat  die Ableitung  
> > keine Nullstellen.
>  Gegenbeispiel: [mm]f(x):=x^3[/mm] .

Hallo Tobias,

ich schäme mich, dass mir so was passiert....

Gruß FRED

>  
> Viele Grüße
>  Tobias


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Umkehrbarkeit - ganzrtl. Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:43 Fr 21.02.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

versuch es mal mit:

Nehmen wir an, f sei nicht injektiv, d.h. es gibt $a [mm] \not= [/mm] b$ mit $f(a) = f(b)$
Dann nimmt aber f als stetige Funktion auf [a,b] ihr Maximum und Minimum an, hat also (mindestens) ein Extremum, was ein Widerspruch zur Annahme ist.
f ist daher injektiv, damit streng monoton.

Und nun fred folgend:

> f ist  also streng monoton und damit injektiv.  Hast du  nun eine Idee,  warum  f auch surjektiv  ist ?
> f ist also bijektiv.   Das war es.

Gruß,
Gono




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Umkehrbarkeit - ganzrtl. Fkt.: Antwort meinerseits
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:48 So 23.02.2020
Autor: mathejohannes

Hallo,

erstmal danke für eure Hilfe. Den Zwischenwertsatz haben wir noch nicht behandelt. Mit den Begriffen injektiv, surjektiv und bijektiv kann ich etwas anfangen, jedoch fällt es mir schwer die angenommenen Aussagen schriftlich zu verfassen und es wirklich als Beweis darzulegen.
Übrigens ist die Aufgabe auch nicht Bestand der 11. Klasse, jedoch stand sie so im Mathematik-Lehrbuch und unser Lehrer meint, wir können uns ja auf Eigeninteresse damit befassen. :)

Liebe Grüße
Johannes

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Umkehrbarkeit - ganzrtl. Fkt.: Anregungen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:52 Mo 24.02.2020
Autor: mathejohannes

Guten Tag,

ich habe mir eure Ideen angeschaut. Ich verstehe schon was mir meint etc. Als Information: Bisher wissen wir, was die Umkehrfunktion ist und wann man eine Funktion umkehren kann (jeder y-Wert max. ein x-Wert). Wie ich nun an diese Aufgabe heran gehe weiß ich selber auch noch nicht ganz, aber eure Anregungen helfen mir sehr weiter.

Liebe Grüße
Johannes

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Umkehrbarkeit - ganzrtl. Fkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:39 So 23.02.2020
Autor: hase-hh

Hmm, die Antworten überzeugen mich nicht, weil:  Es geht um 11. Klasse!! Tschuldigung!

Über Umkehrfunktionen weiß ich (als Schüler), dass ich, um eine Umkehrfunktion zu bilden

1. x und y vertausche
2. diesen Term dann nach y auflöse.


Vielleicht hilft es, wenn man die Frage stellt, wann es keine Umkehrfunktion gibt?

Und welche Wirkung es hat, wenn die Ableitung eine oder mehrere Nullstellen hat?

Ich behaupte, die Funktion  f(x) = [mm] x^2 [/mm]   hat ein Minimum und mithin hat die 1. Ableitung eine Nullstelle; und die

Umkehrfunktion g(x) = [mm] \wurzel{x} [/mm]  existiert, oder nicht?

Klar Definitionsbereich und Wertebereich verändern sich, na und?


Weitere Idee: Bei Umkehrfunktionen ist die Winkelhalbierende y=x die Spiegelachse. Die Frage, die man sich stellen könnte: Wann kann ich eine Funktion daran spiegeln und wann nicht?


Schönen Sonntag!











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Umkehrbarkeit - ganzrtl. Fkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:17 Mo 24.02.2020
Autor: tobit09

Hallo hase-hh!


> Hmm, die Antworten überzeugen mich nicht, weil:  Es geht
> um 11. Klasse!! Tschuldigung!

Das Problem sehe ich auch. Allerdings erscheint mir das Problem eher an der Aufgabe als an den Antworten zu liegen. Natürlich kann ich mich täuschen und es gibt doch eine für die 11. Klasse zugängliche Lösung. Allerdings deutet für mich einiges darauf hin, dass eine solche zumindest nicht einfach zu finden ist.


> Ich behaupte, die Funktion  f(x) = $ [mm] x^2 [/mm] $   hat ein Minimum und mithin hat die 1. Ableitung eine Nullstelle; und die
>
> Umkehrfunktion g(x) = $ [mm] \wurzel{x} [/mm] $  existiert, oder nicht?
>
> Klar Definitionsbereich und Wertebereich verändern sich, na und?

Die Funktion [mm] $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\;f(x)=x^2$ [/mm] ist nicht umkehrbar, die Funktion [mm] $\tilde{f}:\mathbb{R}_{\ge0}\to\mathbb{R}_{\ge0},\;\tilde{f}(x)=x^2$ [/mm] hingegen schon.

(Wenn man Definitionsbereich und Wertebereich beliebig verkleinern dürfte, wäre jede Funktion umkehrbar!)

Auch in der 11. Klasse muss Umkehrbarkeit definiert/erklärt sein, damit die Aufgabe überhaupt Sinn macht.


Viele Grüße
Tobias

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