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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Fr 23.04.2010 | | Autor: | tamani |
| Aufgabe | Seien X,Y Mengen und f:X->Y eine Abbildung, und seien A,B [mm] \subseteq [/mm] X, C,D [mm] \subseteq [/mm] Y. Welche der folgenden Aussagen sind stehts wahr? Man beweise diese und widerlege die anderen durch Angabe eines Gegenbeispiels.
(i) f(f^(-1)(C)) = C, f^(-1)(f(A))=A,
(ii) f^(-1) (C [mm] \cup [/mm] D)= f^(-1) (C) [mm] \cup [/mm] f^(-1) (D) |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bei obiger Aufgabe habe ich das Problem, dass ich nicht weiss wie ich i) beweisen soll. Meine Idee war die Behauptung mit der Definition von Bild und Urbild zu beweisen. Also:
Urbild: f^(-1) (C):= [mm] \{x € X | f(x) €C \}
[/mm]
dann folgt aus f(f^(-1)(C)) => f(x)=C
Ist damit der Beweis fertig?
bei (ii) bin ich so ähnlich, also auch mit der Definition vom Urbild vorgegangen:
f^(-1) (C [mm] \cup [/mm] D)
=> [mm] \{x €X | f(x) € C \cup D \} [/mm]
=> [mm] \{x €X | f(x) € C \vee f(x) € D \}
[/mm]
=> f^(-1) (C) [mm] \cup [/mm] f^(-1) (D)
Dann hätte ich aber bei beiden Aussagen bewiesen das sie wahr sind. In der Aufgabe steht aber "widerlege die anderen durch Angaben eines Gegenbeispiels." ?!
Für jede Anregung bin ich euch sehr dankbar!!!
lg tamani
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> Seien X,Y Mengen und f:X->Y eine Abbildung, und seien A,B
> [mm]\subseteq[/mm] X, C,D [mm]\subseteq[/mm] Y. Welche der folgenden Aussagen
> sind stehts wahr? Man beweise diese und widerlege die
> anderen durch Angabe eines Gegenbeispiels.
> (i) f(f^(-1)(C)) = C, f^(-1)(f(A))=A,
> (ii) f^(-1) (C [mm]\cup[/mm] D)= f^(-1) (C) [mm]\cup[/mm] f^(-1) (D)
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Bei obiger Aufgabe habe ich das Problem, dass ich nicht
> weiss wie ich i) beweisen soll. Meine Idee war die
> Behauptung mit der Definition von Bild und Urbild zu
> beweisen.
Über Bild und Urbild nachzudenken, ist auf jeden Fall richtig - ob man die Aussage beweisen kann, lasse ich mal offen...
Du sollst ja herausfinden, ob sie richtig ist oder nicht.
Ich mache mir für sowas immer erstmal kleine Bilder mit Pünktchen.
Hier: die Menge C, ihr Urbild, dann das Bild des Urbildes.
Tip: in C können auch Elemente sein, auf die gar kein Element aus X abgebildet wird.
Den zweiten Teil von i) kannst Du erstmal so ähnlich überlegen.
Mal zur Vorgehensweise:
Wenn Du eine Mengengleichheit zeigen möchtest wie hier f(f^(-1)(C)) = C, dann mußt Du zwei Teilmengenbeziehungen zeigen, nämlich
f(f^(-1)(C)) [mm] \subseteq [/mm] C und [mm] C\subseteq [/mm] f(f^(-1)(C)).
Man tut dies, indem man zeigt, daß jedes Element der einen Menge auch in der anderen liegt.
Wolltest Du also f(f^(-1)(C)) [mm] \subseteq [/mm] C zeigen, so zeigst Du, daß aus [mm] y\in [/mm] f(f^(-1)(C)) folgt: [mm] y\in [/mm] C.
Die andere Teilmengenbeziehung entsprechend.
So könnte man beginnen:
Behauptung: [mm] y\in [/mm] f(f^(-1)(C)) ==> [mm] y\in [/mm] C
Beweis:
Sei [mm] y\in [/mm] f(f^(-1)(C)).
Dann gibt es ein [mm] x\in [/mm] f^(-1)(C) mit f(x)=y.
Also gibt es ein [mm] c\in [/mm] C mit c=f(x). Folglich ...
Dies zur Demonstration dessen, was Du tun sollst.
Ich hatte hoffentlich schon mit dem Zaunpfahl gewinkt, fass nicht: überleg Dir gut, ob man die Aussagen beweisen kann.
Wenn nicht, so mußt Du Dir ein ganz konkretes Gegenbeispiel überlegen, mit welchem die Aussage dann widerlegt ist.
> Also:
> Urbild: f^(-1) (C):= [mm]\{x € X | f(x) €C \}[/mm]
> dann folgt
> aus f(f^(-1)(C)) => f(x)=C
Aus f(f^(-1)(C)) kann nichts folgen, denn das ist keine Aussage, und f(x) kann nicht =C sein, denn f(x) ist ein Element und keine Menge.
Aber [mm] f(x)\in [/mm] C wäre natürlich möglich.
Die ii) stellen wir erstmal zurück.
Gruß v. Angela
> Ist damit der Beweis fertig?
>
> bei (ii) bin ich so ähnlich, also auch mit der Definition
> vom Urbild vorgegangen:
>
> f^(-1) (C [mm]\cup[/mm] D)
> => [mm]\{x €X | f(x) € C \cup D \}[/mm]
> => [mm]\{x €X | f(x) € C \vee f(x) € D \}[/mm]
> => f^(-1) (C)
> [mm]\cup[/mm] f^(-1) (D)
>
> Dann hätte ich aber bei beiden Aussagen bewiesen das sie
> wahr sind. In der Aufgabe steht aber "widerlege die anderen
> durch Angaben eines Gegenbeispiels." ?!
>
> Für jede Anregung bin ich euch sehr dankbar!!!
> lg tamani
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