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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:26 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Docy |
| Aufgabe | Es sei G={x [mm] \in \IR^3 [/mm] | [mm] x_1+x_2+x_3 \not= [/mm] -1} und die Funktion f: G [mm] \to \IR^3 [/mm] gegeben durch
f(x):= [mm] \vektor{f_{1}(x) \\ f_{2}(x) \\ f_{3}(x)} [/mm] mit
[mm] f_{i}(x):= \bruch{x_i}{1+x_1+x_2+x_3} [/mm] für i=1,2,3.
(a) Zeigen Sie, dass f auf G injektiv ist. Bestimmen Sie f(G) und geben Sie die Umkehrabbildung [mm] f^{-1}:f(G) \to [/mm] G explizit an.
(b) Zeigen Sie, dass die Umkehrabbildung [mm] f^{-1} [/mm] auf f(G) differenzierbar ist und berechnen Sie ihre Ableitung. |
Hallo alle zusammen,
also zu der (a) habe ich mir gedacht:
Um die Injektivität zu zeigen, kann man doch die Matrix zu der Abbildung f: G [mm] \to \IR^3 [/mm] bestimmen und dann ihren Ker(A) berechnen, aber ich komme nicht auf die Basis von G. Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen?
Ich bräuchte auch ein paar Tipps zu dem Rest der Aufgabe.
Schonmal danke im Voraus
Gruß
Docy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 Mi 20.06.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Dima!
> Es sei [mm] $G=\{x \in \IR^3 |x_1+x_2+x_3 \not= -1\}$ [/mm] und die
> Funktion f: G [mm]\to \IR^3[/mm] gegeben durch
>
> f(x):= [mm]\vektor{f_{1}(x) \\ f_{2}(x) \\ f_{3}(x)}[/mm] mit
> [mm]f_{i}(x):= \bruch{x_i}{1+x_1+x_2+x_3}[/mm] für i=1,2,3.
>
> (a) Zeigen Sie, dass f auf G injektiv ist. Bestimmen Sie
> f(G) und geben Sie die Umkehrabbildung [mm]f^{-1}:f(G) \to[/mm] G
> explizit an.
> (b) Zeigen Sie, dass die Umkehrabbildung [mm]f^{-1}[/mm] auf f(G)
> differenzierbar ist und berechnen Sie ihre Ableitung.
> Hallo alle zusammen,
> also zu der (a) habe ich mir gedacht:
> Um die Injektivität zu zeigen, kann man doch die Matrix zu
> der Abbildung f: G [mm]\to \IR^3[/mm] bestimmen und dann ihren
> Ker(A) berechnen, aber ich komme nicht auf die Basis von G.
> Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen?
Vorsicht! Mit Matrizen kannst du bei linearen Abbildungen hantieren. Diese Abb. ist aber kein bißchen linear.
Versuch doch, dir einen Bildpunkt (a|b|c) vorzugeben und sein Urbild zu finden. Geht das?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Docy |
Hi Dieter,
stimmt das hier ist ja keine lin. Abbildung.
Wenn ich mir jetzt einen Bildpunkt (a|b|c) nehme, dann gilt ja:
[mm] \vektor{a \\ b \\ c}=\vektor{f_{1}(x) \\ f_{2}(x) \\ f_{3}(x)}
[/mm]
[mm] =\vektor{\bruch{k*a}{1+k*a+l*b+m*c} \\ \bruch{l*b}{1+k*a+l*b+m*c} \\ \bruch{m*c}{1+k*a+l*b+m*c}}
[/mm]
Richtig?
Dann gilt ja: [mm] \bruch{k}{1+k*a+l*b+m*c} [/mm] = [mm] \bruch{l}{1+k*a+l*b+m*c} [/mm]
= [mm] \bruch{m}{1+k*a+l*b+m*c} [/mm] = 1.
Daraus müsste folgen: [mm] k=\bruch{1+l*b+m*c}{1-a}, l=\bruch{1+k*a+m*c}{1-b}, m=\bruch{1+k*a+l*b}{1-c}.
[/mm]
Daraus folgt, dass a,b,c [mm] \not=1 [/mm] sind.
Ist der Ansatz bis hierhin richtig? Wenn ich weitermache, dann bekomme ich k, l und m in Abhängigkeit von a,b und c raus (riesengroße Terme), aber dafür habe ich dann noch viele zusätzliche Bedingungen, wie a+b [mm] \not=1, [/mm] usw.
Kann das stimmen? Würde mich nochmal über deine Hilfe, oder die eines anderen sehr freuen.
Gruß Docy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
der Ansatz sieht ok aus. Momentan seh ich keinen einfacheren Weg umdie Umkehrfunktion zu bestimmen.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:36 Do 21.06.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Dima!
> Wenn ich mir jetzt einen Bildpunkt (a|b|c) nehme, dann
> gilt ja:
> [mm]\vektor{a \\ b \\ c}=\vektor{f_{1}(x) \\ f_{2}(x) \\ f_{3}(x)}[/mm]
>
> [mm]=\vektor{\bruch{k*a}{1+k*a+l*b+m*c} \\ \bruch{l*b}{1+k*a+l*b+m*c} \\ \bruch{m*c}{1+k*a+l*b+m*c}}[/mm]
>
> Richtig?
Wie bist du darauf gekommen?
Ich komme auf [mm]\vektor{a \\ b \\ c}=\vektor{f_{1}(x) \\ f_{2}(x) \\ f_{3}(x)}[/mm]
[mm]=\vektor{\bruch{x_{1}}{1+x_{1}+x_{2}+x_{3}} \\ ... \\ \bruch{x_{3}}{1+x_{1}+x_{2}+x_{3}}}[/mm]
Gesucht sind jetzt die [mm]x_{i}[/mm]'s.
Einer von uns beiden hat einen Blackout oder ist müde oder beides.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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