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| Aufgabe | | Sei [mm] x=a(\Delta-sin\Delta) [/mm] und [mm] y=a(1-cos\Delta), [/mm] wobei a konstant ist. Bestimmen Sie [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] in Abhaengigkeit von [mm] \Delta. [/mm] Bestimmen Sie des Weiteren [mm] \bruch{d^{2}y}{dx^{2}} [/mm] in Abhaengigkeit von [mm] \Delta. [/mm] |
Hallo erstmal!
Zu dieser Aufgabenstellung habe ich mir Folgendes gedacht - wir haben das Thema so nicht in der Schule bearbeitet und deswegen bin ich auf diesem Gebiet ein Neuling (insbesondere was die Schreibweise und des Umgang mit Differentialen angeht):
(1) [mm] \bruch{dx}{d\Delta}=a(1-cos\Delta)
[/mm]
(2) [mm] \bruch{dy}{d\Delta}=asin\Delta
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{dy}{d\Delta}\bruch{d\Delta}{dx}=\bruch{asin\Delta}{a(1-cos\Delta)}
[/mm]
Kann man das so machen? Also ist hier [mm] \bruch{d\Delta}{dx} [/mm] der Kehrbruch von [mm] \bruch{dx}{d\Delta}, [/mm] oder muss man dann [mm] \Delta [/mm] nach x hin differenzieren?
Weiter gehts mit:
[mm] \bruch{d^{2}y}{dx^{2}}=\bruch{d}{dx}(\bruch{dy}{dx})
[/mm]
Mit [mm] f(\Delta):=\bruch{dy}{dx}
[/mm]
[mm] \bruch{d}{dx}(\bruch{dy}{dx})=\bruch{df}{d\Delta}\bruch{d\Delta}{dx}
[/mm]
Man findet schliesslich (nach einigen Umformungen unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras)
[mm] \bruch{d^{2}y}{dx^{2}}=\bruch{cos\Delta-1}{asin\Delta(1-cos\Delta)}
[/mm]
Vielen Dank schon einmal fuer jede Hilfe und viel Spass damit!
Viele Gruesse
Johannes
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Ich darf mich selber aus einem anderen Mathematikforum zitieren (mit kleinen Anpassungen):
Ich finde die Identifizierung von abhängiger Variable und Funktionsbezeichner problematisch. Das wird zwar gern gemacht und ist gelegentlich auch bequem, etwa in der Theorie der Differentialgleichungen, wo man mit [mm]y = y(x)[/mm] so eine Mischschreibweise wählt. Das Ganze wird aber unübersichtlich, wenn man einen Variablenwechsel durchführt. Man sollte daher dann im Zweifel [mm]y = f(x)[/mm] schreiben. Und dann kommt auch alles richtig heraus: [mm]x[/mm] ist eine Variable, die für die Eingabe steht, die Funktion [mm]f[/mm] ordnet der Eingabe eine Ausgabe zu, für die [mm]y[/mm] als Variable fungiert.
Ich schreibe daher lieber
[mm]x = \varphi(t) \, , \ \ y = \psi(t)[/mm]
Hier sind [mm]t,x,y[/mm] die Variablen und [mm]\varphi[/mm] und [mm]\psi[/mm] die Funktionsbezeichner. Die Ableitungen dieser Funktionen bezeichne ich durch einen Punkt. Ich setze die Umkehrbarkeit von [mm]\varphi[/mm] voraus:
[mm]t = \varphi^{-1}(x)[/mm]
Und eingesetzt in die zweite Gleichung bekommt man [mm]y[/mm] in Abhängigkeit von [mm]x[/mm]. Diese Funktion bezeichne ich mit [mm]f[/mm]. Es gilt also
[mm]y = f(x) = \psi \left( \varphi^{-1}(x) \right) = \left( \psi \circ \varphi^{-1} \right) (x)[/mm]
Und in der Aufgabe geht es jetzt darum, [mm]f[/mm] abzuleiten. Die Ableitung bezeichne ich mit einem Strich. Nach Kettenregel und der Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion gilt daher:
[mm]f' = \left( \psi \circ \varphi^{-1} \right)' = \left( \dot{\psi} \circ \varphi^{-1} \right) \cdot \left(\varphi^{-1} \right)' = \frac{\dot{\psi} \circ \varphi^{-1}}{\dot{\varphi} \circ \varphi^{-1}}[/mm]
Um ein weiteres Mal abzuleiten, braucht man dann noch die Quotientenregel:
[mm]f'' = \frac{\frac{\ddot{\psi} \circ \varphi^{-1}}{\dot{\varphi} \circ \varphi^{-1}} \cdot \left( \dot{\varphi} \circ \varphi^{-1} \right) - \left( \dot{\psi} \circ \varphi^{-1} \right) \cdot \frac{\ddot{\varphi} \circ \varphi^{-1}}{\dot{\varphi} \circ \varphi^{-1}}}{\left( \dot{\varphi} \circ \varphi^{-1} \right)^2}[/mm]
Leicht vereinfacht ergibt sich
[mm]f'' = \frac{\left( \ddot{\psi} \circ \varphi^{-1} \right) \, \left( \dot{\varphi} \circ \varphi^{-1} \right) - \left( \dot{\psi} \circ \varphi^{-1} \right) \, \left( \ddot{\varphi} \circ \varphi^{-1} \right)}{\left( \dot{\varphi} \circ \varphi^{-1} \right)^3}[/mm]
Setzt man nun hier [mm]x[/mm] ein, so gilt wegen [mm]\varphi^{-1}(x) = t[/mm]
[mm]f''(x) = \frac{\ddot{\psi}(t) \cdot \dot{\varphi}(t) - \dot{\psi}(t) \cdot \ddot{\varphi}(t)}{\left( \dot{\varphi}(t) \right)^3}[/mm]
Und wem es gefällt, der mag jetzt statt [mm]f''(x)[/mm] einfach [mm]y''[/mm] schreiben, die Funktionsbezeichner mit ihren abhängigen Variablen zusammenschmeißen und ansonsten die Variablen unterdrücken:
[mm]y'' = \frac{\dot{x} \cdot \ddot{y} - \ddot{x} \cdot \dot{y}}{\dot{x}^{\, 3}}[/mm]
Über die Gefährlichkeit dieser Simplifizierung habe ich mich oben schon geäußert. Man muß eine solche Formel eben zu lesen wissen.
Soweit das Zitat.
Wende ich die Formel auf dein Beispiel an, so komme ich auf
[mm]y'' = \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} = - \, \frac{1}{a \left( 1 - \cos{t} \right)^2}[/mm]
Das ist nicht ganz dein Ergebnis. Mindestens einer von uns beiden muß sich also irren ...
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Ersteinmal ganz herzlichen Dank fuer die ausfuehrliche Antwort! Ja, ich habe mich zwischendurch verrechnet - grundsaetzlich geht es so aber natuerlich auch. Jetzt habe ich aber das gleiche Ergebnis.
Gruss
Johannes
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