Umformungen einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:51 Fr 30.03.2007 | | Autor: | Max80 |
| Aufgabe | Es gilt folgende Matrix in die Dreiecksform zu überführen:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 3 & -1 & 2 \\ 3 & -1 & 5 & -3 & -1 \\ 2 & 1 & 2 & -2 & -3}
[/mm]
zweite aufgabe:
[mm] \pmat{1 & -1 & +1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & +1 \\ 1 & -1 & -2 & +2} [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich habe hier 2 Matrizen die ich umformen muss. Ziel ist es, den Rang
dieser Matrizen zu berechnen. Ich habe mir dabei mal Grundlegende Gedanken darüber gemacht, was alles wann erlaubt ist!
Bei diesen Dingen bin ich mir unsicher:
Erlaubt ist die addition einer zeile zu einer anderen zeile?
Erlaubt ist auch das addieren eines VIELFACHEN einer zeile zu einer anderen zeile?
Ich darf auch eine Zweile mit irgendwas multiplizieren und dann zu einer addieren?
Und: Darf ich zwei Zweilen miteinander Multiplizieren?
Nun zu den Lösungen für die Aufgaben:
Die Musterlösung sieht so aus (leider habe ich keine Ahnung welche Rechenschritte gemacht wurden, trotz der Bemerkungen am Rand):
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 3 & -1 & 2 \\ 3 & -1 & 5 & -3 & -1 \\ 2 & 1 & 2 & -2 & -3}
[/mm]
wird zu:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 3 & -1 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & 0 & -7 \\ 0 & 5 & -4 & 0 & -7}
[/mm]
Neben der zweiten Zeile steht: ((2.)-(1.)*3)
Neben der dritten Zeile steht: ((3.)-2*(1.))
als Ergebnis steht dort:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 3 & -1 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0}
[/mm]
Die Lösung scheint jedoch irgendwo einen Fehler zu haben. Als Ergebnis steht dort Rang=2.
Meine Lösung wäre (ist das ok so?):
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 3 & -1 & 2 \\ 3 & -1 & 5 & -3 & -1 \\ 2 & 1 & 2 & -2 & -3}
[/mm]
wird zu:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 3 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & -2 & -3}
[/mm]
hier habe ich die erste und dritte addiert und dann von der zweiten abgezogen. ist das ok?
danach habe ich noch die dritte und die zweite zeile vertauscht (damit die nullen unten sind).
Danach habe ich noch die erste mal 2 genommen und von der zweiten abgezogen.
Mein Ergebnis wäre (weiter geht es ja nicht, oder? Noch eine Null-Zeile ist ja eigentlich unmöglich, weil ich in der zweiten Zeile zwei Nullen habe und wenn ich addiere/subtrahiere ist irgendwo in der zweiten Zweile ja dann IMMER ein wert...?!):
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 3 & -1 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Nun zur 2. Aufgabe:
Ich habe keine Ahnung^^ habe vieles probiert aber es ist eigentlich nichts bei raus gekommen. Entweder habe ich links 2 nullen oder rechts. aber ich kriege nie eine ganze Zeile auf null. was kann man hier machen??
Vielen Dank!
Gruß
Bunti
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> Es gilt folgende Matrix in die Dreiecksform zu überführen:
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 3 & -1 & 2 \\ 3 & -1 & 5 & -3 & -1 \\ 2 & 1 & 2 & -2 & -3}[/mm]
>
> zweite aufgabe:
> [mm]\pmat{1 & -1 & +1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & +1 \\ 1 & -1 & -2 & +2}[/mm]
>
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe hier 2 Matrizen die ich umformen muss. Ziel ist
> es, den Rang
> dieser Matrizen zu berechnen. Ich habe mir dabei mal
> Grundlegende Gedanken darüber gemacht, was alles wann
> erlaubt ist!
> Bei diesen Dingen bin ich mir unsicher:
> Erlaubt ist die addition einer zeile zu einer anderen
> zeile? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Erlaubt ist auch das addieren eines VIELFACHEN einer zeile
> zu einer anderen zeile?
> Ich darf auch eine Zweile mit irgendwas multiplizieren und
> dann zu einer addieren? jo das ist dasselbe 
> Und: Darf ich zwei Zweilen miteinander Multiplizieren? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
>
>
> Nun zu den Lösungen für die Aufgaben:
>
> Die Musterlösung sieht so aus (leider habe ich keine Ahnung
> welche Rechenschritte gemacht wurden, trotz der Bemerkungen
> am Rand):
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 3 & -1 & 2 \\ 3 & -1 & 5 & -3 & -1 \\ 2 & 1 & 2 & -2 & -3}[/mm]
>
> wird zu:
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 3 & -1 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & 0 & -7 \\ 0 & 5 & -4 & 0 & -7}[/mm]
>
> Neben der zweiten Zeile steht: ((2.)-(1.)*3)
> Neben der dritten Zeile steht: ((3.)-2*(1.))
> als Ergebnis steht dort:
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 3 & -1 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0}[/mm]
>
> Die Lösung scheint jedoch irgendwo einen Fehler zu haben.
> Als Ergebnis steht dort Rang=2. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Meine Lösung wäre (ist das ok so?):
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 3 & -1 & 2 \\ 3 & -1 & 5 & -3 & -1 \\ 2 & 1 & 2 & -2 & -3}[/mm]
>
> wird zu:
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 3 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & -2 & -3}[/mm]
>
> hier habe ich die erste und dritte addiert und dann von der
> zweiten abgezogen. ist das ok?
> danach habe ich noch die dritte und die zweite zeile
> vertauscht (damit die nullen unten sind).
> Danach habe ich noch die erste mal 2 genommen und von der
> zweiten abgezogen.
> Mein Ergebnis wäre (weiter geht es ja nicht, oder? Noch
> eine Null-Zeile ist ja eigentlich unmöglich, weil ich in
> der zweiten Zeile zwei Nullen habe und wenn ich
> addiere/subtrahiere ist irgendwo in der zweiten Zweile ja
> dann IMMER ein wert...?!):
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 3 & -1 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
Worin genau unterscheidet sich dein Ergebnis von dem aus der Musterlösung?
>
> Nun zur 2. Aufgabe:
> Ich habe keine Ahnung^^ habe vieles probiert aber es ist
> eigentlich nichts bei raus gekommen. Entweder habe ich
> links 2 nullen oder rechts. aber ich kriege nie eine ganze
> Zeile auf null. was kann man hier machen??
>
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
> Bunti
Hallo Bunti,
kurz vorab, erlaubt sind elementare Zeilenumformungen, von denen es 3 Typen gibt:
(1) Vertauschen von zwei Zeilen
(2) Addieren des Vielfachen eine Zeile zu einer anderen
(3) Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar (=einer Zahl) [mm] \ne [/mm] 0
Nun, welchen Weg und in welcher Reihenfolge du wählst, um die Dreiecksform (auch Zeilenstufenform) zu bekommen, ist letzlich egal.
Bei der Aufgabe (a) erhält man also bei deiner und in der Musterlösung eine Nullzeile , also ist der Rang=2 (2 Nicht-Null-Zeilen)
Welchen Rechenschritt genau aus der Lösung kannst du nicht
nachvollziehen? - Das sind Umformungen vom Typ (2)
Zu (b):
gehe das genauso an, eliminiere zuerst die 1en in der ersten Spalte unterhalb der 1 in der 1.Zeile.
Addiere hierzu das -1fache der 1.Zeile zur zweiten und zur dritten Zeile (Typ(2)) und dann weiter...
Probier's mal
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Mo 02.04.2007 | | Autor: | Max80 |
Servus! =)
Also erstmal Danke für die Antwort. Ich habe die Umformungen der Musterlösung doch verstanden. Habe nur einen kleinen (dummen) Fehler gemacht. Was mich jedoch immer noch verwirrt, ist die 1 in der letzten Zeile der Musterlösung. Ist das nicht ein Fehler???
Nun noch kurz eine Frage zum Umformen: Es heißt ja, die Matrix soll am Ende in der Dreiecksform sein. Wenn meine Matrix jedoch z.B. eine 3x5 Matrix ist (also 5 Spalten), dann ist sie ja nicht mehr quadratisch d.h. die Dreiecksform würde nicht ausreichen, den Rang zu bestimmen, oder? Schließlich muss ich ja die ganze Zeile auf Null kriegen. Richtig?
Ich war auch der Meinung wenn ich mehr Spalten als Zeilen habe, dann ist der Rang maximal so groß wie die kleinere Zahl (hier: 3). korrekt?
subtrahieren ist beim umformen auch erlaubt, oder?
Multiplikation mit einem skalar: ja
Multiplikation einer Zeile mit einer anderen: nein?
division durch ein skalar: ja?
was ich mich noch gefragt habe ist, was darf ich alles mit spalten machen?
hier darf ich doch eigentlich gar nicht mit machen oder? von den spalten also finger weg?
zur aufgabe b)
meine lösung:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -2 & 2 }
[/mm]
aktion: 3. Zeile minus 2. Zeile
Ergebnis:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 }
[/mm]
aktion: 2. Zeile minus 1. Zeile
Ergebnis:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 1 }
[/mm]
hier habe ich ja jetzt schon die dreiecksform oder nicht? aber bin ich jetzt schon fertig????
ich war mir an dieser stelle unsicher. es hieß ja immer die dreiecksform muss es sein. wenn ich also die diagonale mir anschaue sehe ich da drunter 3 nullen. sogar in der diagonalen selbst ist eine null (bedeutet das was?)!
naja ich war mir jedenfalls unsicher also hab ich einfach mal weiter gemacht:
aktion: 2. Zeile halbiert und von der dritten abgezogen... =)
ergebnis:
[mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
ab hier wusste ich nicht mehr weiter. demnach bin ich davon ausgegangen das es die lösung ist. habe ja auch nen rang von 2 jetzt. *freu*
aber das mit der dreiecksform verunsicher mich noch ein wenig. denn die hat ja scheinbar nicht gereicht...
LG
Bunti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Mo 02.04.2007 | | Autor: | anitram |
hallo bunti
ein paar antworten auf deine fragen:
> Nun noch kurz eine Frage zum Umformen: Es heißt ja, die
> Matrix soll am Ende in der Dreiecksform sein. Wenn meine
> Matrix jedoch z.B. eine 3x5 Matrix ist (also 5 Spalten),
> dann ist sie ja nicht mehr quadratisch d.h. die
> Dreiecksform würde nicht ausreichen, den Rang zu bestimmen,
> oder? Schließlich muss ich ja die ganze Zeile auf Null
> kriegen. Richtig?
> Ich war auch der Meinung wenn ich mehr Spalten als Zeilen
> habe, dann ist der Rang maximal so groß wie die kleinere
> Zahl (hier: 3). korrekt?
>
das stimmt!
> subtrahieren ist beim umformen auch erlaubt, oder?
ja ist erlaubt!
> Multiplikation mit einem skalar: ja
ja ist erlaubt!
> Multiplikation einer Zeile mit einer anderen: nein?
nein ist nicht erlaubt!
> division durch ein skalar: ja?
ja! ist erlaubt!
> was ich mich noch gefragt habe ist, was darf ich alles mit
> spalten machen?
> hier darf ich doch eigentlich gar nicht mit machen oder?
> von den spalten also finger weg?
mit den spalten darfst du das gleiche machen wie mit den zeilen, solange du nicht eine zeile und mit einer spalte zusammenzählst!
also ruhig ran an die spalten
>
> zur aufgabe b)
> meine lösung:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & -2 & 2 }[/mm]
>
> aktion: 3. Zeile minus 2. Zeile
> Ergebnis:
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 }[/mm]
>
> aktion: 2. Zeile minus 1. Zeile
> Ergebnis:
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 1 }[/mm]
>
> hier habe ich ja jetzt schon die dreiecksform oder nicht?
> aber bin ich jetzt schon fertig????
> ich war mir an dieser stelle unsicher. es hieß ja immer
> die dreiecksform muss es sein. wenn ich also die diagonale
> mir anschaue sehe ich da drunter 3 nullen. sogar in der
> diagonalen selbst ist eine null (bedeutet das was?)!
>
fertig bist du hier deswegen nicht, weil man ganz leicht sieht, dass die 3. zeile von der 2. abhängt. (multipliziere die 3. zeile mit 2 und schon steht die 2.zeile da! )
also hast du ganz richtig weitergerechnet! und ich denke auch dass das stimmt(habs aber nicht nachgerechnet!)
lg anitram
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Mi 04.04.2007 | | Autor: | Max80 |
hallo!
danke für eure antworten. ich erlaube mir mal die antwort auf beide antworten hier zusammen zu machen sonst kommt da ein unnötiges durcheinander.
zu schachuzipus:
nur um sicher zu gehen das ich es richtig verstanden habe:
dein satz "Eine Matrix ist in Dreiecksform oder Zeilenstufenform, wenn unterhalb des ersten Eintrags einer jeden Zeile 0 lauter Nullen stehen."
ist mir nicht ganz klar. momentan habe ich es so verstanden:
Eine Matrix ist in Dreiecksform oder Zeilenstufenform, wenn unterhalb des ersten Eintrags != 0 einer jeden Zeile [mm] !=\vec{0} [/mm] lauter Nullen stehen.
richtig?
also iim prinzip gehe ich von links nach rechts bis zur ersten zahl !=0. ist da drunter eine null, dann ist die bedingung für ZFS erfüllt und ich gehe in der unteren zeile wieder so weit nach rechts, bis wieder irgendwann eine zahl != null kommt. ist die zahl unter diese zahl KEINE null, so liegt noch keine ZFS vor.
richtig so?
was ich mich noch frage ist, ob es denn unbedingt so sein muss. könnte ich nich sowas auch als lösung nehmen?:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 1 }
[/mm]
zwar keine ZFS; aber eine lösung oder? hier ist der rang doch auch eindeutig => 3
was ich halt meine ist: die nullen können doch auch durcheinander liegen. warum muss es die saubere dreiecksform sein???
zu anitram:
also darf ich eigentlich unabhängig von spalten und zeile arbeiten, ich darf nur nicht mixen? hmm. ich glaub ich wüsste auch gar nicht wie man zeilen und spalten zusammenzählt ;) denn da gäbe es ja einen punkt der sowohl in der zeile als auch in der spalte ist. soll man denn dann verdoppeln? bringt es überhaupt was eine zeile und eine spalte zusammen zu zählen??
danke!!!
gruß
bunti
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> hallo!
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> danke für eure antworten. ich erlaube mir mal die antwort
> auf beide antworten hier zusammen zu machen sonst kommt da
> ein unnötiges durcheinander.
>
> zu schachuzipus:
> nur um sicher zu gehen das ich es richtig verstanden
> habe:
> dein satz "Eine Matrix ist in Dreiecksform oder
> Zeilenstufenform, wenn unterhalb des ersten Eintrags einer
> jeden Zeile [mm] \ne [/mm] 0 lauter Nullen stehen."
Das muss ich noch ergänzen s.u.
> ist mir nicht ganz klar. momentan habe ich es so
> verstanden:
> Eine Matrix ist in Dreiecksform oder Zeilenstufenform,
> wenn unterhalb des ersten Eintrags != 0 einer jeden Zeile
> [mm]!=\vec{0}[/mm] lauter Nullen stehen.
>
> richtig?
> also iim prinzip gehe ich von links nach rechts bis zur
> ersten zahl !=0. ist da drunter eine null, dann ist die
> bedingung für ZFS erfüllt und ich gehe in der unteren zeile
> wieder so weit nach rechts, bis wieder irgendwann eine zahl
> != null kommt. ist die zahl unter diese zahl KEINE null, so
> liegt noch keine ZFS vor.
> richtig so?
>
> was ich mich noch frage ist, ob es denn unbedingt so sein
> muss. könnte ich nich sowas auch als lösung nehmen?:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 1 }[/mm]
>
> zwar keine ZFS; aber eine lösung oder? hier ist der rang
> doch auch eindeutig => 3
> was ich halt meine ist: die nullen können doch auch
> durcheinander liegen. warum muss es die saubere
> dreiecksform sein???
>
> zu anitram:
> also darf ich eigentlich unabhängig von spalten und zeile
> arbeiten, ich darf nur nicht mixen? hmm. ich glaub ich
> wüsste auch gar nicht wie man zeilen und spalten
> zusammenzählt ;) denn da gäbe es ja einen punkt der sowohl
> in der zeile als auch in der spalte ist. soll man denn dann
> verdoppeln? bringt es überhaupt was eine zeile und eine
> spalte zusammen zu zählen??
>
>
> danke!!!
> gruß
> bunti
Hallo nochmal bunti,
also ich muss meine Beschreibung der ZSF noch etwas präzisieren:
Also, wie oben mit dem Zusatz, dass der erste Eintrag [mm] \ne [/mm] 0 in der (i+1)-ten Zeile stets [mm] \bold{rechts} [/mm] von dem ersten Eintrag [mm] \ne [/mm] 0 der i-ten Zeile stehen muss. (Wenn ich nach der "Beschreibung" in unserem ollen Skript gehe, ist der erte Eintrag [mm] \ne [/mm] 0 jeweils ein Pivoteintrag, also eine 1) - aber das ist m.E. nicht nötig fürs Prinzip
Das ist irgendwie doof zu formulieren
Bsp.:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 3 & 6 & 0&0 \\ 0 & 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&1 }
[/mm]
Was die Spalten-/Zeilenumformungen angeht, da war gemeint, dass du [mm] \bold{entweder} [/mm] sämtlich Spaltenumformungen [mm] \bold{oder} [/mm] sämltlich Zeilenumformungen machen darfst, aber nicht beides gemischt.
Also bringst du eine Matrix entweder [mm] \bold{nur} [/mm] mit element. Zeilenumformungen in ZSF oder [mm] \bold{nur} [/mm] mit element. Spaltenumformungen in SSF.
Also kommst du gar nicht in die Verdrückung, Spalten und Zeilen addieren zu müssen
Gruß
schachuzipus
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![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
