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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Mo 26.05.2008 | | Autor: | nikito |
| Aufgabe | Also ich habe hier die Lineare Hülle zweier von [mm] \beta [/mm] abhängigen Vektoren, die umgeformt werden. Wie? Entzieht sich leider meinem Verständnis.
[mm] [\vektor{-\bruch{\beta}{2}\\ \beta-1 \\\beta-1\\1\\0 },\vektor{0\\\beta\\\beta-1\\0\\1}] [/mm] = [mm] [\vektor{-\bruch{\beta}{2}\\ -1 \\0\\1\\-1 },\vektor{0\\\beta\\\beta-1\\0\\1}] [/mm] |
Der erst Vektor hätte auch gereicht aber der Vollständigkeit halber habe ich sie beide hingeschrieben. Ist mir gänzlich unklar wie diese Umformung von Statten gehen soll.
Vielen Dank für die Hilfe!
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Ich vermute mal das ganze findet im Körper [mm] \IR [/mm] oder vergleichbarem statt.
Die Lineare Hülle von Vektoren ist ja nichts anderes als die Menge der Linearkombinationen von den Vektoren, d.h. die Menge
[mm] \left[\vektor{-\bruch{\beta}{2}\\ \beta-1 \\\beta-1\\1\\0 },\vektor{0\\\beta\\\beta-1\\0\\1}\right]
[/mm]
= [mm] \left\{\lambda_{1}*\vektor{-\bruch{\beta}{2}\\ \beta-1 \\\beta-1\\1\\0 } + \lambda_{2}*\vektor{0\\\beta\\\beta-1\\0\\1}\Bigg| \lambda_{1}, \lambda_{2}\in \IR \right\}
[/mm]
Nun kannst du dir überlegen, dass das dasselbe ist wie
= [mm] \left\{\lambda_{1}*\vektor{-\bruch{\beta}{2}\\ \beta-1 \\\beta-1\\1\\0 } + \left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)*\vektor{0\\\beta\\\beta-1\\0\\1}\Bigg| \lambda_{1}, \lambda_{2}\in \IR \right\}
[/mm]
Warum? Die Menge von [mm] \IR [/mm] ist unendlich. D.h. es ist doch völlig egal, ob ich statt [mm] \lambda_{2} [/mm] nun [mm] \lambda_{2}-\lambda_{1} [/mm] schreibe oder [mm] \lambda_{2}, [/mm] denn beide Skalare sind auf jeden Fall in [mm] \IR [/mm] enthalten. Außerdem kann ich immer noch beide Skalare vor den Vektoren frei wählen - ich muss einfach zuerst [mm] \lambda_{1} [/mm] wählen und dann [mm] \lambda_{2} [/mm] entsprechend so, dass [mm] \lambda_{2}-\lambda_{1} [/mm] den gewünschten Wert hat.
--> Ich verändere die Menge also nicht, denn ich kann immer noch alle Elemente [mm] \in \IR [/mm] als Skalare vor den Vektoren einsetzen, genau wie vorher.
Wöllte ich mein "altes" Skalar vor dem zweiten Vektor wiederhaben, müsste ich mein [mm] \lambda_{2} [/mm] einfach [mm] \lambda_{2}+\lambda_{1} [/mm] wählen.
Das ist sehr schwer zu verstehen, aber glaub mir, wenn du es verstanden hast, hast du ein großes Stück Erkenntnis der Mathematik dazugewonnen (finde ich zumindest)!
Wenn ich die Menge nun so oben stehen habe, kann ich sie auch umformen:
[mm] \left\{\lambda_{1}*\vektor{-\bruch{\beta}{2}\\ \beta-1 \\\beta-1\\1\\0 } + \left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)*\vektor{0\\\beta\\\beta-1\\0\\1}\Bigg| \lambda_{1}, \lambda_{2}\in \IR \right\}
[/mm]
= [mm] \left\{\lambda_{1}*\vektor{-\bruch{\beta}{2}\\ \beta-1 \\\beta-1\\1\\0 } + \lambda_{2}*\vektor{0\\\beta\\\beta-1\\0\\1}-\lambda_{1}*\vektor{0\\\beta\\\beta-1\\0\\1}\Bigg| \lambda_{1}, \lambda_{2}\in \IR \right\}
[/mm]
Der Rest ergibt sich entsprechend:
= [mm] \left\{\lambda_{1}*\left(\vektor{-\bruch{\beta}{2}\\ \beta-1 \\\beta-1\\1\\0 } - \vektor{0\\\beta\\\beta-1\\0\\1}\right) + \lambda_{2}*\vektor{0\\\beta\\\beta-1\\0\\1}\Bigg| \lambda_{1}, \lambda_{2}\in \IR \right\}
[/mm]
= [mm] \left\{\lambda_{1}*\vektor{-\bruch{\beta}{2}\\ -1 \\ 0\\1\\-1 } + \lambda_{2}*\vektor{0\\\beta\\\beta-1\\0\\1}\Bigg| \lambda_{1}, \lambda_{2}\in \IR \right\}
[/mm]
[mm] =\left[\vektor{-\bruch{\beta}{2}\\ -1 \\ 0\\1\\-1 },\vektor{0\\\beta\\\beta-1\\0\\1}\right]
[/mm]
Im Prinzip wurde also nur in der linearen Hülle der zweite Vektor vom ersten einmal abgezogen.
Man verwendet solche Umformungen, um das Ganze möglichst schöner aussehen zu lassen. (Bei dir sind durch z.B. zwei Betas weggefallen).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 Mo 26.05.2008 | | Autor: | nikito |
Ah ja danke! Also das mit den Skalaren etc. war mir schon klar mir fehlte nur der Gedanke das man ja den zweiten vom ersten abziehen könnte. Da bin ich leider nicht drauf gekommen. Wilde Sache das ;)
Vielen Dank noch mal.
Lg Nikito
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