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Umformung exp: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:39 Sa 03.08.2019
Autor: lenz

Hallo
Es geht um folgende Rechnung:
Es soll laut eines Lehrbuches gelten
[mm] e^{-(y-\frac {y_0} 2)^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac1 {n!}\left(-\frac {y_0} 2\right)^n \left(\frac \partial{\partial y}\right)^ne^{-y^2} [/mm]
Irgendwie kann ich das trotz längerem Bemühens nicht nachvollziehen. Es müsste ja gelten
[mm] e^{-(y-\frac {y_0} 2)^2}=e^{-y^2}e^{yy_0-(\frac{y_0}{2})^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac1 {n!}\left(yy_0-\left(\frac{y_0}{2}\right)^2\right)^ne^{-y^2}, [/mm]
oder nicht?
Wenn ich mir jetzt aber die ersten Summenden anschaue, komme ich auf (Fakultät und [mm] e^{-y^2} [/mm] vernachlässigt)
[mm] n_1= -\frac{y_0}{2}(-2y)=yy_0 [/mm]
[mm] n_2=\frac{y_0^2}{4}(-2+4y^2)=-\frac {y_0^2}{2}+y_0^2y^2 [/mm]
[mm] n_3=-\frac{y_0^3}{8}(4y+8y-8y^3)=\frac{3}{2} y_0^3y+y_0^3y^3, [/mm]
was ja nicht übereinstimmt. Kann mich jemand auf meinen Fehler hinweisen?
Gruß Lennart

        
Bezug
Umformung exp: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:11 Sa 03.08.2019
Autor: HJKweseleit


> Hallo
>  Es geht um folgende Rechnung:
>  Es soll laut eines Lehrbuches gelten
>  [mm]e^{-(y-\frac {y_0} 2)^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac1 {n!}\left(-\frac {y_0} 2\right)^n \left(\frac \partial{\partial y}\right)^ne^{-y^2}[/mm]
>  
> Irgendwie kann ich das trotz längerem Bemühens nicht
> nachvollziehen. Es müsste ja gelten
>  [mm]e^{-(y-\frac {y_0} 2)^2}=e^{-y^2}e^{yy_0-(\frac{y_0}{2})^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac1 {n!}\left(yy_0-\left(\frac{y_0}{2}\right)^2\right)^ne^{-y^2},[/mm]
>  
> oder nicht?
>  Wenn ich mir jetzt aber die ersten Summenden anschaue,
> komme ich auf (Fakultät und [mm]e^{-y^2}[/mm] vernachlässigt)
>  [mm]n_1= -\frac{y_0}{2}(-2y)=yy_0[/mm]
>  
> [mm]n_2=\frac{y_0^2}{4}(-2+4y^2)=-\frac {y_0^2}{2}+y_0^2y^2[/mm]
>  
> [mm]n_3=-\frac{y_0^3}{8}(4y+8y-8y^3)=\frac{3}{2} y_0^3y+y_0^3y^3,[/mm]
>  
> was ja nicht übereinstimmt. Kann mich jemand auf meinen
> Fehler hinweisen?
>  Gruß Lennart




Betrachte die beiden Funktionen
[mm]f(x) = e^{-(y+x)^2}[/mm] mit y = konstant (!) mit und
[mm]g(y) = e^{-y^2} [/mm]mit y = variabel.

Nach Taylor ist

[mm]f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{(n)}(0)}{n!}(x-0)^n[/mm].

Setze nun x = - [mm] \bruch{y_0}{2}. [/mm]

Dann folgt:
[mm] f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\bruch{f^{(n)}(0)}{n!}(- \bruch{y_0}{2})^n [/mm]

Zeige nun: [mm] f^{(n)}(0)= (\bruch{\partial}{\partial y})^n [/mm] g(y).  (f nach x, g nach y ableiten, x=0 setzen)


Bezug
                
Bezug
Umformung exp: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:13 So 04.08.2019
Autor: lenz

Alles klar. Vielen Dank.
Gruß Lennart

Bezug
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