Umformung e^x < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Di 08.08.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen!
Ich habe zwei Fragen zu folgenden Umformungen:
Sei [mm] \delta \in [/mm] ]0, [mm] \pi[ [/mm] und [mm] s_{x}(x) [/mm] := [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] sin (kx) = Im [mm] (\summe_{k=1}^{n} e^{ikx}).
[/mm]
Es gilt für [mm] \delta \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] - [mm] \delta:
[/mm]
[mm] |s_{n}(x)| \le \left|\summe_{k=1}^{n} e^{ikx}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1}\right| \le \frac{2}{|e^{\frac{ix}{2}} - e^{\frac{-ix}{2}}|} [/mm] = [mm] \frac{1}{sin \frac{x}{2}} \le \frac{1}{sin \frac{\delta}{2}}
[/mm]
(der Term im Bruch unter der 2 ist sehr klein und die Exponenten lauten:
[mm] {\frac{ix}{2}} [/mm] und [mm] {\frac{-ix}{2}}
[/mm]
Nun zu meinen zwei Fragen:
1) [mm] \left|\summe_{k=1}^{n} e^{ikx}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1}\right|
[/mm]
Im Reellen ist der Summenwert der geometrischen Reihe ja wie folgt gegeben:
a) [mm] \summe_{k=0}^{n} q^{k} [/mm] = [mm] \frac{1 - q^{n+1}}{1-q} [/mm] = [mm] \frac{q^{n+1} - 1}{q-1} [/mm] für |q| > 1
b) [mm] \summe_{k=0}^{n} q^{k} [/mm] = [mm] \frac{1}{1-q} [/mm] = [mm] \frac{-1}{q-1} [/mm] für |q| < 1
c) [mm] \summe_{k=0}^{n} q^{k} [/mm] = n+1, für |q| = 1
Hier ist [mm] e^{ikx} [/mm] = [mm] (e^{ix})^{k}, [/mm] aber [mm] |e^{ix}| [/mm] = 1 ?
Wieso ergibt sich hier also:
[mm] \left|\summe_{k=1}^{n} e^{ikx}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1}\right| [/mm] ?
2) Wieso gilt [mm] \left|\frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1}\right| \le \frac{2}{|e^{\frac{ix}{2}} - e^{\frac{-ix}{2}}|} [/mm] ?
Was mir noch einleuchtet ist [mm] |e^{inx} [/mm] - 1| [mm] \le [/mm] 2, wegen [mm] |e^{inx} [/mm] - 1| [mm] \le |e^{inx}| [/mm] + |-1| [mm] \le [/mm] 1 + 1 = 2
Aber wie wird die Abschätzung im Nenner vollzogen?
Wäre wie immer für jede Antwort dankbar!
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:50 Di 08.08.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen!
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> Ich habe zwei Fragen zu folgenden Umformungen:
>
> Sei [mm]\delta \in[/mm] ]0, [mm]\pi[[/mm] und [mm]s_{x}(x)[/mm] := [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm]
> sin (kx) = Im [mm](\summe_{k=1}^{n} e^{ikx}).[/mm]
>
> Es gilt für [mm]\delta \le[/mm] x [mm]\le[/mm] 2 [mm]\pi[/mm] - [mm]\delta:[/mm]
>
> [mm]|s_{n}(x)| \le \left|\summe_{k=1}^{n} e^{ikx}\right|[/mm] =
> [mm]\left|\frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1}\right| \le \frac{2}{|e^{\frac{ix}{2}} - e^{\frac{-ix}{2}}|}[/mm]
> = [mm]\frac{1}{sin \frac{x}{2}} \le \frac{1}{sin \frac{\delta}{2}}[/mm]
>
> (der Term im Bruch unter der 2 ist sehr klein und die
> Exponenten lauten:
> [mm]{\frac{ix}{2}}[/mm] und [mm]{\frac{-ix}{2}}[/mm]
>
>
> Nun zu meinen zwei Fragen:
>
> 1) [mm]\left|\summe_{k=1}^{n} e^{ikx}\right|[/mm] =
> [mm]\left|\frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1}\right|[/mm]
>
>
> Im Reellen ist der Summenwert der geometrischen Reihe ja
> wie folgt gegeben:
>
> a) [mm]\summe_{k=0}^{n} q^{k}[/mm] = [mm]\frac{1 - q^{n+1}}{1-q}[/mm] =
> [mm]\frac{q^{n+1} - 1}{q-1}[/mm] für |q| > 1
Diese Formel gilt für jedes komplexe q [mm] \ne [/mm] 1 !
>
> b) [mm]\summe_{k=0}^{n} q^{k}[/mm] = [mm]\frac{1}{1-q}[/mm] = [mm]\frac{-1}{q-1}[/mm]
> für |q| < 1
>
Wo hast Du das denn her ? Stimmen tuts nicht.
> c) [mm]\summe_{k=0}^{n} q^{k}[/mm] = n+1, für |q| = 1
>
Auch das ist falsch. Es gilt nur für q=1.
>
> Hier ist [mm]e^{ikx}[/mm] = [mm](e^{ix})^{k},[/mm] aber [mm]|e^{ix}|[/mm] = 1 ?
>
> Wieso ergibt sich hier also:
>
> [mm]\left|\summe_{k=1}^{n} e^{ikx}\right|[/mm] = [mm]\left|\frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1}\right|[/mm]
> ?
>
>
> 2) Wieso gilt [mm]\left|\frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1}\right| \le \frac{2}{|e^{\frac{ix}{2}} - e^{\frac{-ix}{2}}|}[/mm]
> ?
>
> Was mir noch einleuchtet ist [mm]|e^{inx}[/mm] - 1| [mm]\le[/mm] 2, wegen
> [mm]|e^{inx}[/mm] - 1| [mm]\le |e^{inx}|[/mm] + |-1| [mm]\le[/mm] 1 + 1 = 2
>
> Aber wie wird die Abschätzung im Nenner vollzogen?
>
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>
> Wäre wie immer für jede Antwort dankbar!
>
> Viele Grüße,
> X3nion
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Di 08.08.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo Fred und Danke für's Drüberschauen!
Ja klar, da hab ich nicht aufgepasst..
1) Ist denn [mm] e^{ix} \not= [/mm] 1, da [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] betrachtet wird und wegen x [mm] \in [/mm] ]0, [mm] \pi[ [/mm] somit kx kein Vielfaches von [mm] 2\pi [/mm] ist?
2) Wieso ergibt sich
[mm] \left|\summe_{k=1}^{n} e^{ikx}\right| =\left|\frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1}\right| [/mm] ?
Wenn ich die geometrische Summenformel anwende, erhalte ich:
[mm] \left|\summe_{k=1}^{n} e^{ikx}\right| [/mm] = [mm] \left|-1 + \summe_{k=0}^{n} e^{ikx} \right| [/mm] = [mm] \left|-1 + \frac{e^{i(n+1)x} - 1}{e^{ix} - 1}\right| [/mm] = [mm] \left|-1 + \frac{e^{inx + ix} - 1}{e^{ix} - 1}\right| [/mm] = [mm] \left| -\frac{e^{ix}-1}{e^{ix} - 1} + \frac{e^{inx + ix} - 1}{e^{ix} - 1}\right| [/mm] = [mm] \frac{e^{inx} * e^{ix} - 1 - e^{ix} + 1}{e^{ix} - 1}\right| [/mm] = [mm] \frac{e^{inx} * e^{ix}- e^{ix}}{e^{ix} - 1}\right|?
[/mm]
3) Wie ergibt sich die Abschätzung [mm] \left|\frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1}\right| \le \frac{2}{|e^{\frac{ix}{2}} - e^{\frac{-ix}{2}}|} [/mm]
Die Abschätzung [mm] |e^{inx} [/mm] - 1| [mm] \le [/mm] 2 leuchtet mir wie gesagt ein, die des Nenners jedoch nicht.
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Di 08.08.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred und Danke für's Drüberschauen!
>
> Ja klar, da hab ich nicht aufgepasst..
>
> 1) Ist denn [mm]e^{ix} \not=[/mm] 1, da [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] betrachtet
> wird und wegen x [mm]\in[/mm] ]0, [mm]\pi[[/mm] somit kx kein Vielfaches von
> [mm]2\pi[/mm] ist?
ja
>
> 2) Wieso ergibt sich
>
> [mm]\left|\summe_{k=1}^{n} e^{ikx}\right| =\left|\frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1}\right|[/mm]
> ?
>
> Wenn ich die geometrische Summenformel anwende, erhalte
> ich:
>
> [mm]\left|\summe_{k=1}^{n} e^{ikx}\right|[/mm] = [mm]\left|-1 + \summe_{k=0}^{n} e^{ikx} \right|[/mm]
> = [mm]\left|-1 + \frac{e^{i(n+1)x} - 1}{e^{ix} - 1}\right|[/mm] =
> [mm]\left|-1 + \frac{e^{inx + ix} - 1}{e^{ix} - 1}\right|[/mm] =
> [mm]\left| -\frac{e^{ix}-1}{e^{ix} - 1} + \frac{e^{inx + ix} - 1}{e^{ix} - 1}\right|[/mm]
> = [mm]\frac{e^{inx} * e^{ix} - 1 - e^{ix} + 1}{e^{ix} - 1}\right|[/mm]
> = [mm]\frac{e^{inx} * e^{ix}- e^{ix}}{e^{ix} - 1}\right|?[/mm]
>
du solltest die betragsstriche, die du verschlsmpert hast, anbringen und im zähler [mm] e^{ix} [/mm] ausklammern
>
> 3) Wie ergibt sich die Abschätzung [mm]\left|\frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1}\right| \le \frac{2}{|e^{\frac{ix}{2}} - e^{\frac{-ix}{2}}|}[/mm]
[mm] e^{ix/2} [/mm] ausklammern
>
> Die Abschätzung [mm]|e^{inx}[/mm] - 1| [mm]\le[/mm] 2 leuchtet mir wie
> gesagt ein, die des Nenners jedoch nicht.
>
>
> Viele Grüße,
> X3nion
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Di 08.08.2017 | | Autor: | X3nion |
> > 2) Wieso ergibt sich
> >
> > [mm]\left|\summe_{k=1}^{n} e^{ikx}\right| =\left|\frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1}\right|[/mm]
> du solltest die betragsstriche, die du verschlsmpert hast,
> anbringen und im zähler [mm]e^{ix}[/mm] ausklammern
Hallo Fred,
sorry, habe mein Schlampermäppchen mal weggelegt ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
Klammert man [mm] e^{ix} [/mm] aus, so ergibt sich:
[mm] \left| \frac{e^{inx} \cdot{} e^{ix}- e^{ix}}{e^{ix} - 1}\right| [/mm] = [mm] \left| \frac{e^{ix} \cdot{} (e^{inx} - 1)}{e^{ix} - 1}\right| [/mm] = [mm] |e^{ix}| [/mm] * [mm] \left| \frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1} \right| [/mm] = [mm] \left| \frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1} \right|
[/mm]
wegen [mm] |e^{ix}| [/mm] = 1.
Weiter ist [mm] \left| \frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1} \right| \le \frac{2}{|e^{ix} - 1|} [/mm] = [mm] \frac{2}{\left|e^{\frac{ix}{2}} (e^{\frac{ix}{2}} - e^{\frac{-ix}{2}})\right|}\ [/mm] = [mm] \frac{2}{\left|e^{\frac{ix}{2}} - e^{\frac{-ix}{2}}\right|}
[/mm]
Wegen [mm] |e^{\frac{ix}{2}}| [/mm] = 1
Wäre das soweit korrekt (insbesondere die letzte Argumentation [mm] |e^{\frac{ix}{2}}| [/mm] = 1 ?
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:21 Mi 09.08.2017 | | Autor: | fred97 |
>
> > > 2) Wieso ergibt sich
> > >
> > > [mm]\left|\summe_{k=1}^{n} e^{ikx}\right| =\left|\frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1}\right|[/mm]
>
> > du solltest die betragsstriche, die du verschlsmpert hast,
> > anbringen und im zähler [mm]e^{ix}[/mm] ausklammern
>
> Hallo Fred,
> sorry, habe mein Schlampermäppchen mal weggelegt
>
> Klammert man [mm]e^{ix}[/mm] aus, so ergibt sich:
>
> [mm]\left| \frac{e^{inx} \cdot{} e^{ix}- e^{ix}}{e^{ix} - 1}\right|[/mm]
> = [mm]\left| \frac{e^{ix} \cdot{} (e^{inx} - 1)}{e^{ix} - 1}\right|[/mm]
> = [mm]|e^{ix}|[/mm] * [mm]\left| \frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1} \right|[/mm]
> = [mm]\left| \frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1} \right|[/mm]
>
> wegen [mm]|e^{ix}|[/mm] = 1.
>
>
> Weiter ist [mm]\left| \frac{e^{inx} - 1}{e^{ix} - 1} \right| \le \frac{2}{|e^{ix} - 1|}[/mm]
> = [mm]\frac{2}{\left|e^{\frac{ix}{2}} (e^{\frac{ix}{2}} - e^{\frac{-ix}{2}})\right|}\[/mm]
> = [mm]\frac{2}{\left|e^{\frac{ix}{2}} - e^{\frac{-ix}{2}}\right|}[/mm]
>
> Wegen [mm]|e^{\frac{ix}{2}}|[/mm] = 1
>
>
>
> Wäre das soweit korrekt (insbesondere die letzte
> Argumentation [mm]|e^{\frac{ix}{2}}|[/mm] = 1 ?
>
alles bestens !
>
> Viele Grüße,
> X3nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:53 Mi 09.08.2017 | | Autor: | X3nion |
Alles klar, Danke nochmals!
X3nion
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