Umformung Funktion < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \bruch{(n+1)^n(n-1)^{n-1}}{n^nn^{n-1}} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)^n(n-1)^n n}{n^{2n} (n-1)} [/mm] |
Hallo,
ich bin gerade dabei eine Behauptung in n meinem mentor Mathebuch nachzuvollziehen. Dabei binn ich auf diese Umformung gestoßen. Alle vorhergehenden und folgenden Umformungsschritte konnte ich nachvollziehen, aber hinter den komme ich einfach nicht.
Es würde mich freuen, wenn sich jemand findet um mir das Vorgen zu erklären
Danke im voraus
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Hallo,
bedenke die Potenzgesetze [mm] a^{n+m}=a^n*a^m, a^{-n}=\bruch{1}{a^n},
[/mm]
und die Gesetze des Rechnens mit Bruchen:
> [mm]\bruch{(n+1)^n(n-1)^{n-1}}{n^nn^{n-1}}[/mm] =
[mm] =\bruch{(n+1)^n(n-1)^{n}*(n-1)^{-1}}{n^nn^{n}*n^{-1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+1)^n(n-1)^{n}*\bruch{1}{(n-1)}}{n^nn^{n}*\bruch{1}{n}}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+1)^n(n-1)^{n}}{n^{2n}}*\bruch{\bruch{1}{(n-1)}}{\bruch{1}{n}}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+1)^n(n-1)^{n}}{n^{2n}}*\bruch{n}{(n-1)}
[/mm]
> [mm]\bruch{(n+1)^n(n-1)^n n}{n^{2n} (n-1)}[/mm]
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:10 Mi 30.07.2014 | | Autor: | Windbeutel |
Oh je, ich war so kurz davor, aber den Doppelbruch habe ich nicht bedacht.
Danke dir für deine Hilfe, ohne hätte ich mich nocheinmal eine Stunde damit rumgeärgert
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Hallo Windbeutel,
ich will mal noch meinen Senf mit dazugeben:
Angela hat schon wunderbar die Gleichheit gezeigt. Hier also noch allgemeine Hinweise:
Manchmal ist es einfacher von der rechten Seite auf die linke Seite zu schließen. Hier ist das meiner Meinung nach auch der Fall. Auch ein Vergleich beider Seiten ist manchmal hilfreich. Bei deiner Aufgabe ist dies z.B. der Fall. Auf beiden Seiten steht der Faktor [mm] (n+1)^n. [/mm] Es genügt also zu zeigen, dass
[mm] \bruch{(n-1)^{n-1}}{n^nn^{n-1}}=\bruch{(n-1)^n n}{n^{2n} (n-1)}
[/mm]
gilt.
Man erkennt recht schnell, dass [mm] \frac{(n-1)^n}{n-1}=(n-1)^{n-1} [/mm] ist. Somit bleibt nur noch zu zeigen, dass
[mm] \bruch{1}{n^nn^{n-1}}=\bruch{n}{n^{2n}}
[/mm]
gilt.
Betrachten wir die rechte Seite:
[mm] \frac{n}{n^{2n}}=\frac{n}{(n^n)^2}=\frac{n}{n^n*n^n}=\frac{1}{n^{n-1}n^n}
[/mm]
Durch Umformung (Potenzgesetze) haben wir also die linke Seite erhalten.
Das sollte noch einmal zeigen, wie du generell auch an soetwas herangehen kannst. Zerlege alles in kleinere Teilprobleme. Beachte immer, was du eigentlich "nur" zeigen musst. Einige Terme/Faktoren/Summanden spielen womöglich gar keine Rolle, sondern blähen einfach nur die Aufgabe künstlich auf.
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Mi 30.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> [mm]\bruch{(n+1)^n(n-1)^{n-1}}{n^nn^{n-1}}[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)^n(n-1)^n n}{n^{2n} (n-1)}[/mm]
Ergänzend zu meinen Vorrednern sei noch angemerkt, dass die beiden Ausdrücke nicht ganz gleichwertig sind! Der Unterschied liegt bei $n=1$, ein Wert für den der Ergebnisausdruck im Gegensatz zur Angabe nicht definiert ist.
RMix
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