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Umformung: Vektoren
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:21 Sa 12.12.2015
Autor: Skyrula

Aufgabe
Zeige, dass folgende Vektoren orhtogonal sind:
[mm] \vec{u}=a\vec{b}+b\vec{a} [/mm] und [mm] \vec{v}=b\vec{a}-a\vec{b} [/mm]

mit [mm] a=|\vec{a}| [/mm] und [mm] b=|\vec{b}| [/mm]

Hier die Lösung:

[mm] \vec{u}\vec{v}=(a\vec{b}+b\vec{a})(b\vec{a}-a\vec{b})=ab\vec{a}\vec{b}-a^2b^2-b^2a^2-ab\vec{a}\vec{b}=-|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2+|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2=0 [/mm]

Nun zu meiner Frage(n):
wie kommt das zweite - in dem Schritt [mm] ab\vec{a}\vec{b}-a^2b^2-b^2a^2-ab\vec{a}\vec{b} [/mm] zustande, und wie genau kommt man dann von [mm] ab\vec{a}\vec{b}-a^2b^2-b^2a^2-ab\vec{a}\vec{b} [/mm] auf [mm] -|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2+|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2=0 [/mm] ?

Meiner Ansicht nach, heben sich [mm] ab\vec{a}\vec{b} [/mm] und [mm] -ab\vec{a}\vec{b} [/mm] gegenseitig auf, sodass [mm] -a^2b^2-b^2a^2 [/mm] übrig bleibt.

Also wird [mm] -a^2b^2-b^2a^2 [/mm] zu [mm] -|\vec{a}|^2|\vec{b}|+|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2 [/mm] umgewandelt und hier verstehe ich nicht wo das + herkommt und wieso aufeinmal alles im Betrag mit Vektorpfeilen steht.

Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann.

Danke im Vorraus

        
Bezug
Umformung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:46 Sa 12.12.2015
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Zeige, dass folgende Vektoren orhtogonal sind:
> [mm]\vec{u}=a\vec{b}+b\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{v}=b\vec{a}-a\vec{b}[/mm]

>

> mit [mm]a=|\vec{a}|[/mm] und [mm]b=|\vec{b}|[/mm]
> Hier die Lösung:

>

> [mm]\vec{u}\vec{v}=(a\vec{b}+b\vec{a})(b\vec{a}-a\vec{b})=ab\vec{a}\vec{b}-a^2b^2-b^2a^2-ab\vec{a}\vec{b}=-|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2+|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2=0[/mm]

>

> Nun zu meiner Frage(n):
> wie kommt das zweite - in dem Schritt
> [mm]ab\vec{a}\vec{b}-a^2b^2-b^2a^2-ab\vec{a}\vec{b}[/mm] zustande,

Das ist ein Tippfehler, der im nächsten Schritt ja wieder behoben ist ...

> und wie genau kommt man dann von
> [mm]ab\vec{a}\vec{b}-a^2b^2-b^2a^2-ab\vec{a}\vec{b}[/mm] auf
> [mm]-|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2+|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2=0[/mm] ?

>

> Meiner Ansicht nach, heben sich [mm]ab\vec{a}\vec{b}[/mm] und
> [mm]-ab\vec{a}\vec{b}[/mm] gegenseitig auf,  [ok] sodass [mm]-a^2b^2-b^2a^2[/mm]
> übrig bleibt.

>

> Also wird [mm]-a^2b^2-b^2a^2[/mm] zu
> [mm]-|\vec{a}|^2|\vec{b}|+|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2[/mm] umgewandelt
> und hier verstehe ich nicht wo das + herkommt

Das war ein Fehler beim Aufschrieb ...

> und wieso
> aufeinmal alles im Betrag mit Vektorpfeilen steht.

Es ist doch [mm]\vec x\cdot\vec x \ = \ |\vec x|^2[/mm]

>

> Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann.

>

> Danke im Vorraus

Dem kleinen Wörtchen "voraus" genügt ein "r" vollkommen ...

Gruß

schachuzipus

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