Umformen v. Fourierkoeffizient < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo allerseits,
Bei der Berechnung der Fourierreihe komme ich an einer Stelle nicht weiter!
Die Funktion zu der die Fourierreihe berechnet werden soll ist ungerade und die Berechnung des Koeffizienten [mm] b_k [/mm] habe ich bis zu folgender Stelle nachvollzogen:
[mm] b_k [/mm] = -[mm]\bruch {4}{\pi*n^2[/mm] * [mm] \sin(n * \bruch {\pi}{2})[/mm]
Da der [mm] \sin(n * \bruch {\pi}{2})[/mm] folgende 3 Werte in Abhängigkeit von n annehmen kann (0, 1, -1) kann man schreiben:
[mm] b_k [/mm] = [mm] \left\{\begin{matrix}
0, & \mbox{ n = 2k}, k \in\IN_0\\
-\bruch{4}{\pi*n^2}, & \mbox{n = 4k+1}, k \in\IN_0\\
\bruch{4}{\pi*2^2}, & \mbox{n = 4k - 1}, k\in\IN
\end{matrix}\right. [/mm]
Auch diese Umformung hab ich noch gerafft, aber jetzt steht in der Musterlösung, dass das wiederum gleich folgendem Ausdruck sei:
[mm] b_k [/mm] = [mm](-1)^{k+1} * \bruch{4}{\pi} * \bruch{1}{(2k+1)^2}, k \in\IN_0 [/mm]
Und genau an dieser Stelle bin ich dann fertig mit meinem Latein. Keine Ahnung, wie man da drauf kommen soll, oder ob das überhaupt richtig ist. Fest steht jedoch, dass man einen einzigen Term benötigt, um letzten Endes die Fourierreihe aufzustellen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt & bedanke mich im voraus schonmal für Eure Hilfe!!!
MfG,
Andy
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Schau dir mal deine Fallunterscheidung genau an. Man setzt nur ungrade Zahlen ein, für grade Zahlen ergibt sich der Koeffizient zu 0.
Mit anderen Worten, du kannst auch schreiben $n=(2m+1)$.
Die anderen beiden Fälle sorgen dann für eiin alternierendes Vorzeichen, sowas erreichst du mit [mm] $(-1)^m$. [/mm] Und dann gilt noch [mm] $-(-1)^m=(-1)^{m+1}$
[/mm]
Wenn du das jetzt für n einsetzt, dann klappt das.
Zugegeben, daß da jetzt ein k drin steht, ist etwas verwirrend, deshalb hab ich erstmal ein m geschrieben.
Aber nochwas: Wenn du jetzt deine Fourier-Reihe zusammen mit dem sin hinschreibst, mußt du auch dafür sorgen, daß der sin stets ungrade Werte bekommt. Deine zweite Formel läßt ja noch grade WErte für n zu, auch wenn dann 0 herauskommt. Deine letzte Formel läßt nur noch ungrade Werte für n zu. Demnach mußt du dafür sorgen, daß der sin auch nur noch ungrade n bekommt, auf diese Weise stehen die graden Werte gar nicht erst in der Fourier-Reihe.
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