Umformen d. Rayleigh-J.-Gesetz < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:09 Mo 21.01.2008 | | Autor: | haploid |
Hallo!
Ich habe eine Frage zum Umformen des Rayleigh-Jeans-Gesetzes (Strahlungsformel, die aber nur für hohe Wellenlängen gültig ist, richtig ist das Wiensche Gesetz.).
Ich habe folgende zwei Formen.
Einmal die Form abhängig von der Frequenz [mm] \nu [/mm] (und der Temperatur T):
[mm] M (\nu; T) = \bruch{2\pi\nu^2}{c^2} * kT [/mm]
Und die Form abhängig von der Wellenlänge [mm] \lambda [/mm] (und der Temperatur T):
[mm] M (\lambda; T) = \bruch{2\pi c}{\lambda^4} * kT [/mm]
Wie kann ich denn nun die eine Form in die andere umformen? Es gilt ja die Beziehung: [mm] c = \lambda*\nu [/mm]
Einfach einsetzen geht ja nicht, ich habe die Vermutung, dass man noch differentieren muss.
Aber wie genau geht das dann?
Ich bedanke mich schon mal für alle Bemühungen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 Mi 23.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Ich verschiebe diese Frage mal ins Physikforum, da passt sie besser hin.
> Ich habe eine Frage zum Umformen des
> Rayleigh-Jeans-Gesetzes (Strahlungsformel, die aber nur für
> hohe Wellenlängen gültig ist, richtig ist das Wiensche
> Gesetz.).
> Ich habe folgende zwei Formen.
> Einmal die Form abhängig von der Frequenz [mm]\nu[/mm] (und der
> Temperatur T):
> [mm]M (\nu; T) = \bruch{2\pi\nu^2}{c^2} * kT[/mm]
> Und die Form abhängig von der Wellenlänge [mm]\lambda[/mm] (und der
> Temperatur T):
> [mm]M (\lambda; T) = \bruch{2\pi c}{\lambda^4} * kT[/mm]
>
> Wie kann ich denn nun die eine Form in die andere umformen?
> Es gilt ja die Beziehung: [mm]c = \lambda*\nu[/mm]
> Einfach
> einsetzen geht ja nicht, ich habe die Vermutung, dass man
> noch differentieren muss.
Richtig.
> Aber wie genau geht das dann?
Ich kann mich noch gut daran erinnern, wie ich über diese Frage gegrübelt habe. 
Die Größe [mm]M (\nu; T)[/mm] ist die Ausstrahlung pro Fläche und pro Frequenz. Damit ist Folgendes gemeint: Jede gemessene Wert ist immer das Integral über ein endliches Intervall. Wenn wir für den Moment die Fläche mal außer acht lassen, dann wäre das Integral über ein endliches Frequenzintervall [mm][\nu,\nu+\Delta\nu][/mm]:
[mm]\integral_{\nu}^{\nu+\Delta\nu} M (\nu; T) d\nu = \integral_{\nu}^{\nu+\Delta\nu} \bruch{2\pi\nu^2}{c^2} * kT d\nu [/mm]
Wenn ich dieses nun in ein Integral über die Wellenlänge umrechne, muss ich die Integrationsvariable substituieren:
[mm] \integral_{\nu}^{\nu+\Delta\nu} \bruch{2\pi\nu^2}{c^2} * kT d\nu = \integral_{\lambda}^{\lambda+\Delta\lambda} \bruch{2\pi}{\lambda^2} *kT\bruch{-c}{\lambda^2} d\lambda =
\integral_{\lambda+\Delta\lambda}^{\lambda} \bruch{2\pi c}{\lambda^4} *kT d\lambda[/mm]
(Die untere Grenze ist kleiner, denn zu positivem [mm]\Delta\nu[/mm] gehört ein negatives [mm]\Delta\lambda[/mm].)
Wenn du die Integrale ausrechnest, steht im einen Fall (bis auf Vorfaktoren) ein [mm]\nu^3[/mm], im anderen Fall ein [mm]\bruch{1}{\lambda^3}[/mm] da; dass stimmt also überein.
Du siehst, dass [mm]M (\nu; T)[/mm] die Ableitung einer Messgröße nach [mm]\nu[/mm] und [mm]M (\lambda; T)[/mm] die Ableitung dieser Größe nach [mm]\lambda[/mm] ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:52 Mi 23.01.2008 | | Autor: | haploid |
Hallo!
Danke für die Antwort und die gute Erklärung!
Nachdem ich insgesamt drei Physik/Mathelehrer an meiner Schule gefragt habe und die keinen Rat wussten, bin ich schon etwas verzweifelt...
Liebe Grüße...
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