Umfang+Flächeninhalt < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:51 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Verbindet man die Seitenmitten eines Quadrats,so entsteht ein neues Quadrat.Verbindet man wiederum die Seitenmitten des nächsten Quadrats,so entsteht wiederum ein neues Quadrats usw...Wie kann aus dem Umfang [mm] U_{1} [/mm] (Flächeninhalt) des ersten Quadrats den Umfang [mm] U_{n} [/mm] (Flächeninhalt) den n-ten Quadrats bestimmen? |
Hallo zusammen^^
Ich hab überhaupt keinen Plan,wie ich an die Aufgabe rangehen soll,kann mir jemand einen Tipp geben?
vielen dank
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 Mo 08.12.2008 | | Autor: | abakus |
> Verbindet man die Seitenmitten eines Quadrats,so entsteht
> ein neues Quadrat.Verbindet man wiederum die Seitenmitten
> des nächsten Quadrats,so entsteht wiederum ein neues
> Quadrats usw...Wie kann aus dem Umfang [mm]U_{1}[/mm]
> (Flächeninhalt) des ersten Quadrats den Umfang [mm]U_{n}[/mm]
> (Flächeninhalt) den n-ten Quadrats bestimmen?
> Hallo zusammen^^
>
> Ich hab überhaupt keinen Plan,wie ich an die Aufgabe
> rangehen soll,kann mir jemand einen Tipp geben?
Kannst du bekommen:
Mach den ersten Schritt mal selber. Dein Ausgangsquadrat habe die Seitenlänge a und damit den Flächeninhalt [mm] a^2.
[/mm]
Verbinde nun die Seitenmitten. Die Seitenlänge des entstehenden Qadrates kannst du mit den Satz des Pythagoras ausdrücken (wenn man die Seitenmitten verbindet werden "außen" rechtwinklige Deiecke mit der Seitenlänge a/2 "abgeschnitten".
Gruß Abakus
>
> vielen dank
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Ich hab überhaupt keinen Plan,wie ich an die Aufgabe
> > rangehen soll,kann mir jemand einen Tipp geben?
> Kannst du bekommen:
> Mach den ersten Schritt mal selber. Dein Ausgangsquadrat
> habe die Seitenlänge a und damit den Flächeninhalt [mm]a^2.[/mm]
> Verbinde nun die Seitenmitten. Die Seitenlänge des
> entstehenden Qadrates kannst du mit den Satz des Pythagoras
> ausdrücken (wenn man die Seitenmitten verbindet werden
> "außen" rechtwinklige Deiecke mit der Seitenlänge a/2
> "abgeschnitten".
Erst mal vielen dank,wenn ich die Seitenlänge des neuen Quadrats mit dem Pythagoras ausdrücken will,dann scheib ich [mm] (\bruch{a}{2})^{2}+(\bruch{a}{2})^{2}=s^{2} [/mm] (s steht für die Seitenlänge des neuen Quadrats.
[mm] s=\wurzel{2*(\bruch{a}{2})^{2}}
[/mm]
Wenn ich den Flächeninhalt haben will,muss ich das quadrieren,also hätte ich für [mm] A=\bruch{a^{2}}{2}
[/mm]
So ungefähr?
lg
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Hallo Mandy_90,
> > > Ich hab überhaupt keinen Plan,wie ich an die Aufgabe
> > > rangehen soll,kann mir jemand einen Tipp geben?
> > Kannst du bekommen:
> > Mach den ersten Schritt mal selber. Dein
> Ausgangsquadrat
> > habe die Seitenlänge a und damit den Flächeninhalt [mm]a^2.[/mm]
> > Verbinde nun die Seitenmitten. Die Seitenlänge des
> > entstehenden Qadrates kannst du mit den Satz des Pythagoras
> > ausdrücken (wenn man die Seitenmitten verbindet werden
> > "außen" rechtwinklige Deiecke mit der Seitenlänge a/2
> > "abgeschnitten".
>
> Erst mal vielen dank,wenn ich die Seitenlänge des neuen
> Quadrats mit dem Pythagoras ausdrücken will,dann scheib ich
> [mm](\bruch{a}{2})^{2}+(\bruch{a}{2})^{2}=s^{2}[/mm] (s steht für
> die Seitenlänge des neuen Quadrats.
>
> [mm]s=\wurzel{2*(\bruch{a}{2})^{2}}[/mm]
>
> Wenn ich den Flächeninhalt haben will,muss ich das
> quadrieren,also hätte ich für [mm]A=\bruch{a^{2}}{2}[/mm]
>
> So ungefähr?
Genau so. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Di 09.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Wenn ich den Flächeninhalt haben will,muss ich das
> > quadrieren,also hätte ich für [mm]A=\bruch{a^{2}}{2}[/mm]
> >
> > So ungefähr?
>
>
> Genau so.
>
>
ok,aber als Lösung ist im Buch angegeben: Flächeninhalt des n-ten Quadrats: [mm] A_{1}*(\bruch{1}{2})^{n-1}
[/mm]
Umfang des n-ten Quadrats: [mm] U_{1}*(\bruch{1}{\wurzel{2}})^{n-1}
[/mm]
Ich versteh nicht wie die auf dieses Ergebnis kommen,warum steht im Exponenten n-1?Und wie kommt man auf [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] usw.?
Ich versteh diese Ergebnisse überhaupt nicht?
Kann die mir jemand erklären?
vielen dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 Di 09.12.2008 | | Autor: | Dath |
Zu dem Flächeninhalt:
der zweite Flächeninhalt ist ja, wie du richtig gezeigt hast, nur halb so groß, wie der erste, also: [mm]A_{2}=A_{1}*\bruch{1}{2^{1}}[/mm]
Also liegt die Vermutung nahe, dass wenn der zweite Flächeninhalt die Hälfte so groß ist, wie der erste, dass dann der dritte, der wieder die Hälfte so groß ist, wie der zweite, nur ein viertel mal so groß ist, wie der erste.
[mm]A_{3}=A_{1}*\bruch{1}{4};\bruch{1}{4}=\bruch{1}{2^{2}}[/mm]
Aber am Ende wird logischerweise das rauskommen, was dein Lösungsheft oder sonstiges sagt.
Hilft dir das?
Viele Grüße,
Dath
PS: Rechtschreibfehler bitte ich zu entschuldigen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Di 09.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo
danke,das hilft mir schon ein wenig weiter,aber ich versteh noch nicht,warum man im Exponenten (n-1) schreibt?
Und wie kommt beim Umfang auf die [mm] (\bruch{1}{\wurzel{2}})^{n-1} [/mm] ?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Di 09.12.2008 | | Autor: | Dath |
Wenn du es wieder für das erste ausrechnest, sollte das kein Problem mehr darstellen.
Bedenke: Kann man den Pythagoras anwenden?
Dann ist es einfach.
Vereinfacht überlege, welches Verhältnis die Seiten von zwei ineninader "verschachtelte" Quadrate haben, das ist dasselbe, wie der für den Umfang.
Dann genauso, wie ich oben schrieb, verfahren.
Hilft das?
Viele Grüße,
Dath
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Di 09.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Wenn du es wieder für das erste ausrechnest, sollte das
> kein Problem mehr darstellen.
> Bedenke: Kann man den Pythagoras anwenden?
> Dann ist es einfach.
> Vereinfacht überlege, welches Verhältnis die Seiten von
> zwei ineninader "verschachtelte" Quadrate haben, das ist
> dasselbe, wie der für den Umfang.
>
> Dann genauso, wie ich oben schrieb, verfahren.
>
> Hilft das?
>
hmmm, also den Pythagoras kann ich hier anwenden.Der Umfang des ersten Quadrats ist 4a.Dann hab ich die Seitenlänge s des verschachtelten Quadrtas [mm] s=\wurzel{2*(\bruch{a}{2})^{2}}
[/mm]
[mm] s=\bruch{a}{\wurzel{2}} [/mm] und für den Umfang muss ich das mit 4 multiplizieren,aber das ist immer noch nicht das Ergebnis,das angegeben ist ???
lg
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Hallo,
1. Quadrat: Seitenlänge a, somit [mm] u_1=4a
[/mm]
2. Quadrat: Seitenlämge [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}a, [/mm] somit [mm] u_2=4\bruch{1}{\wurzel{2}}a=u_1*\bruch{1}{\wurzel{2}}=u_1*(\bruch{1}{\wurzel{2}})^{1}
[/mm]
n=2, also n-1
3. Quadrat: Seitenlänge [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}*\wurzel{2}}a, [/mm] somit [mm] u_3=4\bruch{1}{\wurzel{2}*\wurzel{2}}a=u_1\bruch{1}{\wurzel{2}*\wurzel{2}}=u_1(\bruch{1}{\wurzel{2}})^{2}
[/mm]
n=3, also n-1
die Seitenlänge des 3. Quadrates [mm] a_3 [/mm] berechnet sich aus der Seitenlänge des 2. Quadrates nach dem Pythagoras
[mm] (a_3)^{2}=[\bruch{\bruch{1}{\wurzel{2}}a}{2}]^{2}+[\bruch{\bruch{1}{\wurzel{2}}a}{2}]^{2}
[/mm]
[mm] (a_3)^{2}=\bruch{a^{2}}{8}+\bruch{a^{2}}{8}
[/mm]
[mm] (a_3)^{2}=\bruch{a^{2}}{4}
[/mm]
[mm] a_3=\wurzel{\bruch{a^{2}}{4}}=\bruch{1}{\wurzel{4}}a=\bruch{1}{\wurzel{2}*\wurzel{2}}a
[/mm]
dieses Spielchen setzt sich jetzt beliebig fort,
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 Di 09.12.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
ok,vielen dank jetzt hab ichs verstanden =)
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