U\W, U U W, U n W Unterräume von V < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 Mi 26.05.2004 | | Autor: | baddi |
Hallo zusammen ich habe das was gelöst, was ich morgen früh abgeben muss.
Ich würde mich freuen wenn ihr mal drauf schauen könnt und meine Argumentation prüft - Danke !
Gegeben: U, W sind Unterräume von V.
Sind folgende Mengen auch Unterräume ?
a) [m]U \setminus W[/m]
b) [m]U \cup W[/m]
c) [m]U \cap W[/m]
Nach Definition:
Eine Teilmenge (0) [m]L \subset \IR^n[/m] heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Bedingungen erfühlt sind:
(1) [m]x, y \in L => x + y \in L;[/m]
(2) [m]x \in L, r \in R => rx \in L.[/m]
<u>Meine [mm] Lösung<\u>:
[/mm]
a) (0) Trifft zu nach Vorraussetzung. klar.
(1) Addition muss wieder in [mm] U\W [/mm] sein.
Ist U nicht leer so muss U eine größere Dimension als W haben ( klar: [m]\IR^2 \setminus \IR^2 [/m]ist leer).
Dann aber lässst sich mit U eine linear kombination finden welche ein Vektor in W erzeugen kann (sogar jeden).
Da aber (1) und (2) erfüllt sein muss ist U/W kein Unterraum von V.
b) Sind natürlich ein Unterraum von V. Das ist ja nach Vorraussetzung so, ist nur etwas kompliziert geschrieben.
c) [m]\IR^m \cap \IR^n mit m
also ist [m]U \cap W[/m] immer ein Unterraum von V
Richtig so ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Mi 26.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo baddi
> Hallo zusammen ich habe das was gelöst, was ich morgen früh
> abgeben muss.
> Ich würde mich freuen wenn ihr mal drauf schauen könnt und
> meine Argumentation prüft - Danke !
> Gegeben: U, W sind Unterräume von V.
> Sind folgende Mengen auch Unterräume ?
> a) [m]U \setminus W[/m]
> b) [m]U \cup W[/m]
> c) [m]U \cap W[/m]
>
> Nach Definition:
> Eine Teilmenge (0) [m]L \subset \IR^n[/m] heißt Untervektorraum,
> wenn die folgenden Bedingungen erfühlt sind:
> (1) [m]x, y \in L => x + y \in L;[/m]
> (2) [m]x \in L, r \in R => rx \in L.[/m]
>
>
> <u>Meine [mm] Lösung<\u>:
[/mm]
> a) (0) Trifft zu nach Vorraussetzung. klar.
> (1) Addition muss wieder in [mm] U\W [/mm] sein.
> Ist U nicht leer so muss U eine größere Dimension als W
> haben ( klar: [m]\IR^2 \setminus \IR^2 [/m]ist leer).
> Dann aber lässst sich mit U eine linear kombination finden
> welche ein Vektor in W erzeugen kann (sogar jeden).
> Da aber (1) und (2) erfüllt sein muss ist U/W kein
> Unterraum von V.
>
Hier hätte man evtl. auch einfacher argumentieren können: wenn W nicht leer ist, so enthält W den Null-Vektor, und somit [m]U \setminus W[/m] nicht. Da aber jeder nichtleere Vektorraum den Nullvektor enthalten muss (Regel (2) mit $r=0$), ist [m]U \setminus W[/m] kein Vektorraum.
> b) Sind natürlich ein Unterraum von V. Das ist ja nach
> Vorraussetzung so, ist nur etwas kompliziert geschrieben.
>
Oh, da bin ich nicht einverstanden! In einem Vektorraum müssen ja alle Linearkombinationen von beliebigen Vektoren wieder im Vektorraum liegen!
(Das sind deine Regeln (1) und (2) in einer einzigen Regel zusammengefasst.)
Nimm jetzt zum Beispiel den 3-dimensionalen Anschauungsraum.
Sei darin die x-y-Ebene der Unterraum U, und die z-Achse der Unterraum W. Die Vereinigungsmenge ist dann also nur die x-y-Ebene mit der daraufgestellten z-Achse. Der Vektor (1,1,1) ist zum Beispiel eine Linearkombination von (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1), gehört aber nicht zu der oben skizzierten Vereinigungsmenge!
> c) [m]\IR^m \cap \IR^n mit m
> also ist [m]U \cap W[/m]
> immer ein Unterraum von V
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, das sehe ich auch so! 
Liebe Grüsse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 Mi 26.05.2004 | | Autor: | baddi |
Versteh ich nicht.
Warum sol z.B. [m][mm] \IR^2 \cap \IR^1 [/mm] = [mm] \IR^2[/mm] [m] nicht ein normaler Vektorraum sein ?
Ist doch OK ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Mi 26.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo,
> Versteh ich nicht.
> Warum sol z.B. [m][mm] \IR^2 \cap \IR^1 [/mm] = [mm] \IR^2[/mm] [m]nicht ein normaler Vektorraum sein ?
> Ist doch OK ?
Hier verstehe ich zweierlei nicht:
1) Soll es wirklich [mm]\IR^2 \cap \IR^1 = \IR^2[/mm] lauten?
2) Falls es [mm]\IR^2 \cup \IR^1 = \IR^2[/mm] lauten sollte, dann hast du natürlich (wenn man den [mm]\IR^1[/mm] in den [mm]\IR^2[/mm] geeignet einbettet, recht. In diesem Fall ist die Vereinigung zweier Untervektorräume wieder ein Untervektorraum.
Aber das heißt ja nicht, dass es immer so ist!
Im Gegenteil: Man kann zeigen, dass dies genau dann der Fall ist, wenn einer der beiden Unterräume in dem anderen enthalten ist!
Daher ist die Aussage, dass die Vereinigung zweier Untervektorräume wieder ein Untervektorraum ist, im Allgemeinen falsch, selbst dann, wenn es Beispiele gibt, wo dies der Fall ist (wenn nämlich der eine Untervektorraum in dem anderen enthalten ist).
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:48 Mi 26.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo ihr
ja, genau das wollte ich mit meinem "anschaulichen" Beispiel zeigen:
Vorausgesetzt wird da ja einfach noch, dass [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] und [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] Unterräume von [mm] $\mathbb{R}^3$ [/mm] sind, wobei hier noch gilt: [mm] $\mathbb{R} \nsubseteq \mathbb{R}^2$ [/mm]
Liebe Grüsse
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Das heißt dann ja das $U [mm] \cup [/mm] W$ nur manchmal Unterräume von V sein können und dann nur unter äquivalenten Bedingungen wie Sie beschrieben haben!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:07 Do 27.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo
ja, genau. Schau dir dazu doch am Besten die Bemerkung von Stefan an!
Ich muss jetzt leder weg (muss morgen ganz früh raus)
Liebe Grüsse
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Moin,
also a und c sind definitiv richtig, das hab ich auch so rausbekommen, nur bei der b din ich noch auf keinen Nenner gekommen!
und die ausführung von paulus behagt mir auch nicht sehr!
Sei darin die x-y-Ebene der Unterraum U, und die z-Achse der Unterraum W. Die Vereinigungsmenge ist dann also nur die x-y-Ebene mit der daraufgestellten z-Achse. Der Vektor (1,1,1) ist zum Beispiel eine Linearkombination von (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1), gehört aber nicht zu der oben skizzierten Vereinigungsmenge!
ich muss den zettel auch morgen abgeben und diese aufgabe und die vierte fehlt mir noch!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:09 Do 27.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
also ein Tipp zur Aufgabe b):
Die Vereinigung von Unterräumen ist i.A. kein Unterraum, denn:
Betrachtet den [mm] $\IR^2$. [/mm] Darin betrachte man die Mengen
[mm] $U_1:=\{x=(y,z) \in \IR^2: z=2y\}$ [/mm] und
[mm] $U_2:=\{x=(y,z) \in \IR^2: z=3y\}$.
[/mm]
Das sind Unterräume vom [mm] $\IR^2$. [/mm] Ferner gehört der Punkt $P:=(1,2)$ zu [mm]U_1[/mm] und der Punkt $S:=(1,3)$ zu [mm] $U_2$. [/mm] Allerdings liegt [mm]P+S=(2,5)[/mm] weder in [mm] $U_1$ [/mm] (sonst wäre ja $5=2*2$, was falsch ist) noch in [mm] $U_2$ [/mm] (sonst wäre $5=3*2$, was aber auch falsch ist), also auch nicht in deren Vereinigung.
PS: 1.) Hier ist Anschauung tatsächlich mal sehr nützlich. Zeichnet euch mal die Mengen [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] auf (das sind dann zwei Ursprungsgeraden), tragt mal die Punkte $P$ und $S$ ab und schaut euch an, wo die Summe $P+S$ liegt (Addition von Vektoren: Diagonale in einem entsprechenden Parallelogramm, anschaulich) 
Ihr werdet feststellen, dass $P+S$ auf keiner der Geraden liegt
2.) zu Pauls Beispiel:
> Sei darin die x-y-Ebene der Unterraum U, und die z-Achse der Unterraum > W. Die Vereinigungsmenge ist dann also nur die x-y-Ebene mit der
> daraufgestellten z-Achse. Der Vektor (1,1,1) ist zum Beispiel eine
> Linearkombination von (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1), gehört aber nicht zu
> der oben skizzierten Vereinigungsmenge!
Das ist vollkommen korrekt. Nimm einfach mal ein Heft als x-y-Ebene, stelle senkrecht dazu einen Bleistift hin. Der Bleistift steht dann für die z-Achse. Jetzt überlege dir, wo die Punkte (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1) liegen würden. Die ersten beiden in der x-y-Ebene, der letzte auf der z-Achse. Die Summe dieser drei Punkte ist (1,0,0)+(0,1,0)+(0,0,1)=(1,1,1), und dieser Punkt liegt weder in der x-y-Ebene noch auf der z-Achse.
Aber man braucht gar nicht räumlich zu denken, mein Beispiel tut's auch
3.) Übrigens ist der Schnitt von Unterräumen eines (K-)Vektorraums immer selbst wieder ein Unterraum:
Denn:
a) In jedem Unterraum liegt der 0-Vektor, also liegt er auch im Schnitt von den Unterräumen.
b) Sind $a,b$ 'Elemente' aus dem Schnitt von Unterräumen und sind $r,s$ aus (dem Körper) K (z.B. [mm] K=$\IR$, [/mm] das muss aber nicht immer sein; ihr habt es so definiert und euch auch auf [mm] $\IR^n$ [/mm] beschränkt; man kann es aber noch allgemeiner machen, so wie ich es hier tue), so liegt:
$r*a+s*b$ (dies ist dann analog zu den Bedingungen (1) und (2) von Sebastian, nur dass ich diese etwas allgemeiner halte und in einer Bedingung zusammenfasse, was äquivalent ist!) in jedem solchen Unterraum, also auch in deren Schnitt!
Viele Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:15 Do 27.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal (insbesondere Sebastian),
mir ist gerade in Erinnerung gekommen:
Sind $U,W$ Unterräume von $V$, so ist $U [mm] \cap [/mm] W$ auch ein Unterraum von $V$ . Dort wurde argumentiert:
[mm] $\IR^m \cap \IR^n=\IR^m$ [/mm] für $m [mm] \le [/mm] n$. Das ist zwar richtig, genügt aber nicht. Warum muss ein Unterraum von der Form [mm] $\IR^k$ [/mm] (mit $k [mm] \le [/mm] n$) sein?
Die eben beschriebenen Mengen [mm] $U_1$ [/mm] bzw [mm] $U_2$ [/mm] lassen sich nicht so beschreiben, sind aber trotzdem eindimensionale Unterräume des [mm] $\IR^2$, [/mm] und nach deiner Argumentation (wenn ich dort ein bisschen hineininterpretiere ) müßte deren Schnitt dann [mm] $\IR$ [/mm] sein, ist es aber nicht, sondern [mm] $\{0=(0,0)\}$. [/mm]
Euer Ergebnis, dass der Schnitt von Unterräumen ein Unterraum ist, ist zwar richtig, aber euer Beweis ist falsch!
Vielmehr musst du (müßt ihr) analog so argumentieren, wie ich es eben bei dem PS 3.) gemacht habe.
Also:
Seien [mm] $L_1,L_2$ [/mm] Unterräume des [mm] $\IR^n$. [/mm]
(0) Der 0-Vektor liegt sowohl in [mm] $L_1$ [/mm] als auch in [mm] $L_2$, [/mm] also auch in [mm]L_1 \cap L_2[/mm].
(1) Seien $x,y [mm] \in L_1 \cap L_2$. [/mm] Dann gilt:
$x+y [mm] \in L_1$, [/mm] da [mm] $L_1$ [/mm] Unterraum (und $x,y [mm] \in L_1$) [/mm] und $x+y [mm] \in L_2$, [/mm] da [mm] $L_2$ [/mm] Unterraum (und $x,y [mm] \in L_2$). [/mm] Also gilt:
$x+y [mm] \in L_1 \cap L_2$.
[/mm]
(2) Sei $r [mm] \in \IR$ [/mm] und $x [mm] \in L_1 \cap L_2$. [/mm] Dann gilt:
$x [mm] \in L_1$ [/mm] und $x [mm] \in L_2$. [/mm] Da [mm] $L_1$ [/mm] Unterraum ist, gilt:
$r*x [mm] \in L_1$ [/mm] und da auch [mm] $L_2$ [/mm] Unterraum ist, gilt auch:
$r*x [mm] \in L_2$. [/mm] Also gilt auch $r*x [mm] \in L_1 \cap L_2$. [/mm]
Sorry, kann sein, dass ich (1) und (2) von dir (Sebastian) vertauscht habe, bin aber zu faul zum Nachgucken
Viele Grüße
Marcel
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