U Untergruppe von G < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 Di 20.11.2007 | | Autor: | epsilon1 |
| Aufgabe | | Sei [mm] (G,\circ) [/mm] eine Gruppe und U [mm] \subset [/mm] G. Zeigen Sie dass U genau dann Untergruppe von G ist, wenn a [mm] \circ [/mm] inv(b) [mm] \in [/mm] U für alle a,b [mm] \in [/mm] U gilt. |
Hallo.
Ich muss jetzt also die zwei Gruppen Kriterien zeigen. Für alle a,b [mm] \in [/mm] U gilt a [mm] \circ [/mm] b [mm] \in [/mm] U und [mm] a^{-1} \in [/mm] U.
Leider weiß ich nicht, wie die Elemente in U aussehen und wie ich dann darauf schließen kann, dass dies gilt.
Kann mir vielleicht jemand einen kurzen Ansatz geben, auf dem ich aufbauen kann?
Danke.
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> Sei [mm](G,\circ)[/mm] eine Gruppe und U [mm]\subset[/mm] G. Zeigen Sie dass
> U genau dann Untergruppe von G ist, wenn a [mm]\circ[/mm] inv(b) [mm]\in[/mm]
> U für alle a,b [mm]\in[/mm] U gilt.
> Ich muss jetzt also die zwei Gruppen Kriterien zeigen.
Hallo,
"Untergruppenkriterien" meinst Du sicher.
Am besten schreibst Du Dir erstmal die beiden zu zeigenden Richtungen auf.
Für
> alle a,b [mm]\in[/mm] U gilt a [mm]\circ[/mm] b [mm]\in[/mm] U und [mm]a^{-1} \in[/mm] U.
>
> Leider weiß ich nicht, wie die Elemente in U aussehen und
> wie ich dann darauf schließen kann, dass dies gilt.
Du weißt aber, daß alle Elemente v. U auch in G sind und daß G eine Gruppe ist. Das mußt Du verwenden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Di 20.11.2007 | | Autor: | epsilon1 |
Hallo.
Ich muss ja nun folgendes zeigen:
Sei U [mm] \subset [/mm] G.
1. Richtung: U ist Untergruppe von G => a [mm] \circ [/mm] inv(b) [mm] \in [/mm] U für alle a,b [mm] \in [/mm] U
2. Richtung: a [mm] \circ [/mm] inv(b) [mm] \in [/mm] U für alle a,b [mm] \in [/mm] U => U ist Untergruppe von G.
Das Untergruppen Kriterium sagt ja aus, dass U [mm] \subset [/mm] G eine Untergruppe ist, wenn a [mm] \circ [/mm] b und [mm] a^{-1} [/mm] in U sind.
Doch ich habe jetzt keine Idee, wie ich dort anfangen soll.
1. Richtung. Sei U eine Untergruppe von G. Dann sind a, b [mm] \in [/mm] U. Da U eine Untergruppe ist, gilt inv(b) [mm] \in [/mm] U. Da U weiter auf [mm] (G,\circ) [/mm] eine Untergruppe ist, ist a [mm] \circ [/mm] inv(b) in U.
2. Richtung. Hier habe ich keine Ahnung...
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> Hallo.
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> Ich muss ja nun folgendes zeigen:
> Sei U [mm]\subset[/mm] G.
> 1. Richtung: U ist Untergruppe von G => a [mm]\circ[/mm] inv(b) [mm]\in[/mm]
> U für alle a,b [mm]\in[/mm] U
> 2. Richtung: a [mm]\circ[/mm] inv(b) [mm]\in[/mm] U für alle a,b [mm]\in[/mm] U => U
> ist Untergruppe von G.
>
> Das Untergruppen Kriterium sagt ja aus, dass U [mm]\subset[/mm] G
> eine Untergruppe ist, wenn a [mm]\circ[/mm] b und [mm]a^{-1}[/mm] in U sind.
>
> Doch ich habe jetzt keine Idee, wie ich dort anfangen
> soll.
Hallo,
ist doch nicht übel, was Du hier machst:
> 1. Richtung. Sei U eine Untergruppe von G. Dann sind
Seien
> a, b [mm]\in[/mm] U. Da U eine Untergruppe ist, gilt inv(b) [mm]\in[/mm] U,
denn das Inverse eines jeden Elements ist in der Untergruppe enthalten.
Da die Untergruppe abgeschlossen bzgl [mm] \circ [/mm] ist,
> ist a [mm]\circ[/mm] inv(b) in U.
>
> 2. Richtung. Hier habe ich keine Ahnung...
Sei U eine Teilmenge v. G mit a [mm]\circ[/mm] inv(b) [mm]\in[/mm] U für alle a,b [mm]\in[/mm] U.
Seien a,b [mm] \in [/mm] U.
Jetzt überlege Dir, warum [mm] e\in [/mm] U ist.
Überlege Dir, warum inv(b) in U ist (damit hast Du schon eine Untergruppenkriterium).
Dann überlege Dir, warum [mm] a\circ b=a\circ inv(inv(b))\in [/mm] U. Damit hast Du dann das zweite Untergruppenkriterium, also die Untergruppe.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:54 Mi 21.11.2007 | | Autor: | epsilon1 |
Hallo.
Das ist doch schon mal super, dass ich die eine Richtung (mit deiner Hilfe) hinbekommen habe.
Bei der Rückrichtung stehe ich noch ein wenig auf dem Schlauch.
Seien a, b [mm] \in [/mm] U. Dann ist nach Voraussetzung auch a [mm] \circ [/mm] inv(b) [mm] \in [/mm] U. Dadurch existiert das neutrale Elemente e. Aber weiter komme ich irgendwie nicht...
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> Bei der Rückrichtung stehe ich noch ein wenig auf dem
> Schlauch.
> Seien a, b [mm]\in[/mm] U. Dann ist nach Voraussetzung auch a [mm]\circ[/mm]
> inv(b) [mm]\in[/mm] U. Dadurch existiert das neutrale Elemente e.
Hallo,
die Existenz des neutralen Elementes (in G) steht ja nicht zur Debatte.
Für meine Beweisidee benötige ich es aber, daß es in U liegt.
Wenn a,b [mm] \in [/mm] U, kann man die Voraussetzung ja auf a,a [mm] \in [/mm] U an wenden, daraus bekommst Du dann das neutrale Element in U.
Wenn Du das hast, wende die Voraussetzung auf [mm] e,a\in [/mm] U an, daraus erhältst Du, daß zu jedem Element auch sein Inverses in U ist.
Wenn Du die Voraussetzung dann wieder auf zwei geeignete Elemente anwendest, bekommst Du, daß mit aund b auch ihr Produkt in U ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 Mi 21.11.2007 | | Autor: | epsilon1 |
Hallo.
Die Frage ist ja nun, wie ich das zeigen kann, dass e [mm] \in [/mm] U ist. Ich habe darüber ja keinerlei Information gegeben. Ich weiß ja nur, dass die Elemente a, b [mm] \in [/mm] U sind nach Voraussetzung und auch das a [mm] \circ [/mm] inv(b) [mm] \in [/mm] U ist. Daraus lässt sich ja aber leider nichts über e sagen.
Deine Beweisidee habe ich verstanden, aber leider bin ich nicht in der Lage diese auch auf dieses Problem anzuwenden.
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> Die Frage ist ja nun, wie ich das zeigen kann, dass e [mm]\in[/mm] U
> ist.
Du hast ja als Voraussetzung, daß aus a,b [mm] \in [/mm] U [mm] a\circ inv(b)\in [/mm] U folgt.
Was folgt denn dann aus [mm] a,a\in [/mm] U ???
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:19 Mi 21.11.2007 | | Autor: | epsilon1 |
Hallo.
Ach so. Jetzt habe ich diesen Schritt denke ich verstanden.
Sei a [mm] \in [/mm] U. Dann ist nach Voraussetzung auch a [mm] \circ [/mm] inv(a) = e [mm] \in [/mm] U.
So, a [mm] \in [/mm] U ist ja voraussgesetzt. Nun gilt weiter inv(inv(a)) = a, also muss auch inv(a) [mm] \in [/mm] U sein.
Jetzt fehlt mir nur noch die Abgeschlossenheit von [mm] \circ...
[/mm]
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> Hallo.
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> Ach so. Jetzt habe ich diesen Schritt denke ich
> verstanden.
> Sei a [mm]\in[/mm] U. Dann ist nach Voraussetzung auch a [mm]\circ[/mm]
> inv(a) = e [mm]\in[/mm] U.
>
> So, a [mm]\in[/mm] U ist ja voraussgesetzt. Nun gilt weiter
> inv(inv(a)) = a, also muss auch inv(a) [mm]\in[/mm] U sein.
Und für b genauso.
Jetzt betrachte a, inv(b) [mm] \in [/mm] U
> Jetzt fehlt mir nur noch die Abgeschlossenheit von
> [mm]\circ...[/mm]
Die hast Du dann.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Mi 21.11.2007 | | Autor: | epsilon1 |
Hi.
Also a [mm] \in [/mm] U. Dann ist auch inv(inv(a)) [mm] \in [/mm] U, also auch inv(a) [mm] \in [/mm] U. Gleiches gilt für b [mm] \in [/mm] U. Dann ist auch inv(inv(b)) [mm] \in [/mm] U, also auch inv(b) [mm] \in [/mm] U.
Laut Voraussetzung ist auch nun aber auch a [mm] \circ [/mm] inv(b) [mm] \in [/mm] U. Somit ist [mm] \circ [/mm] abgeschlossen.
Somit habe ich eine Untergruppe und die Rückrichtung ist gezeigt, oder?
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> Hi.
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> Also a [mm]\in[/mm] U. Dann ist auch inv(inv(a)) [mm]\in[/mm] U, also auch
> inv(a) [mm]\in[/mm] U. Gleiches gilt für b [mm]\in[/mm] U. Dann ist auch
> inv(inv(b)) [mm]\in[/mm] U, also auch inv(b) [mm]\in[/mm] U.
>
> Laut Voraussetzung ist auch nun aber auch a [mm]\circ[/mm] inv(b)
> [mm]\in[/mm] U. Somit ist [mm]\circ[/mm] abgeschlossen.
Nein! Du wolltest doch zeigen, daß [mm] a\circ b\in [/mm] U ist. Bedenke: b= inv(inv(b)),
und folgere das zu Beweisende aus [mm] a,inv(b)\in [/mm] U.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Mi 21.11.2007 | | Autor: | epsilon1 |
Okay.
Zweiter Ansatz:
a [mm] \in [/mm] U. Dann ist auch inv(inv(a)) [mm] \in [/mm] U, also auch inv(a) [mm] \in [/mm] U. Gleiches gilt für b [mm] \in [/mm] U. Dann ist auch inv(inv(b)) [mm] \in [/mm] U, also auch inv(b) [mm] \in [/mm] U.
Ich möchte nun zeigen, dass [mm] a\circ b\in [/mm] U ist.
Laut Definition des Inversenelementes gilt b= inv(inv(b)). Laut Voraussetzung ist a [mm] \circ inv(b)\in [/mm] U. Also ist auch a [mm] \circ [/mm] (inv(inv(inv(b))) [mm] \in [/mm] U.
Aber nun komme ich leider nicht auf b, denn inv(inv(inv(b))) = inv(b). Dadurch habe ich ja leider nichts gewonnen.
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Du umkreist die Sache mit Vehemenz und großem Geschick....
Wir wissen doch inzwischen, daß auch [mm] inv(b)\in [/mm] U ist.
Also sind a,inv(b) in U und es ist [mm] a\circ [/mm] inv(inv(b)) [mm] \in [/mm] U.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:11 Mi 21.11.2007 | | Autor: | epsilon1 |
Stimmt.
Da stand ich wirklich ein wenig auf dem Schlauch. Super, dann haben wir jetzt ja auch die Rückrichtung gezeigt und somit ist die Behauptung gezeigt.
Vielen Dank.
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