U(1) nach zyklischer Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:21 Do 01.09.2011 | | Autor: | Daduu |
| Aufgabe | | Zeigen Sie U(1) faktorisiert nach der zyklischen Gruppe [mm] $C_n [/mm] = [mm] \IZ [/mm] / n [mm] \IZ$ [/mm] ist isomorph zu U(1) selber. |
Stimmt die obige Aussage? Brauch das für eine Aufgabe, bin mir aber nicht sicher ob das stimmt.
[mm] $C_n$ [/mm] kann ja über die Darstellung $k -> exp (2 [mm] \pi [/mm] i k /n)$ als Untergruppe von U(1) aufgefasst werden können. Ich stell mich aber im Moment einfach zu doof an $U(1) / [mm] C_n$ [/mm] auszurechen.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:26 Do 01.09.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen Sie U(1) faktorisiert nach der zyklischen Gruppe [mm]C_n = \IZ / n \IZ[/mm]
> ist isomorph zu U(1) selber.
> Stimmt die obige Aussage? Brauch das für eine Aufgabe,
> bin mir aber nicht sicher ob das stimmt.
Ja, das stimmt.
> [mm]C_n[/mm] kann ja über die Darstellung [mm]k -> exp (2 \pi i k /n)[/mm]
> als Untergruppe von U(1) aufgefasst werden können. Ich
> stell mich aber im Moment einfach zu doof an [mm]U(1) / C_n[/mm]
> auszurechen.
Es gibt zwei Moeglichkeiten:
a) Schau dir den Homomorphismus $U(1) [mm] \to [/mm] U(1)$, $x [mm] \mapsto x^n$ [/mm] an. Zeige: er ist surjektiv und der Kern ist [mm] $C_n$. [/mm] Wende den Homomorphiesatz an.
b) Benutze, dass $U(1) [mm] \cong \IR/\IZ$ [/mm] und [mm] $C_n [/mm] = [mm] \IZ/n\IZ$. [/mm] Wende eins der Isomorphietheoreme an, dann bekommst du $U(1) / [mm] C_n \cong \IR/n\IZ$. [/mm] Jetzt musst du zeigen, dass das isomorph zu [mm] $\IR/\IZ$ [/mm] ist.
LG Felix
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