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Two state markov chain: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 11:44 Do 03.09.2020
Autor: Thomas_Aut

Hallo :)

ich bin über diese Frage gestolpert

https://math.stackexchange.com/questions/3808519/two-state-model

in dieser geht es um Folgendes:

Es werden $N$ Teilchen angenommen, die entweder im Zustand $o$ oder im Zustand $c$ sein können (offen oder closed).

Die Teilchen agieren unabhängig voneinander - die genaue Wahrscheinlichkeit mit der ein Teilchen in den offenen Zustand wechselt ist nicht bekannt, aber ist für die gesamte Betrachtung auch nicht so wichtig.

Nun stellt sich der Fragesteller die Frage, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass genau $n$ Teilchen im offenen Zustand sind (zum Zeitpunkt $t$) und formuliert diese Differentialgleichung - ausgehend vom Zeitpunkt $t + [mm] \delta [/mm] t$ für [mm] $\delta [/mm] t [mm] \to [/mm] 0$:


[mm] $$\frac{d}{dt}P_{o}(n,t) [/mm] = P[c [mm] \to [/mm] o] [mm] (N-n+1)P_{o}(n-1,t) [/mm] - Prob[c [mm] \to o](N-n)P_{o}(n,t)+Prob[o \to c](n+1)P_{o}(n+1,t) [/mm] - Prob[o [mm] \to [/mm] c] n [mm] P_{o}(n,t)$$ [/mm]

diese beschreibt also nun die Fälle, die passieren können: also es sind beispielsweise $n-1$ Teilchen im Zustand offen und ein Teilchen wechselt vom geschlossenen in den offenen Zustand etc.

M.E. stimmt jedenfalls mal diese DGL mit Übergangsraten $P[c [mm] \to [/mm] o], Prob[o [mm] \to [/mm] c]$. Also man kann jeden Partikel als Markovkette mit eben diesen Übergangsraten betrachten.

Nun erhält der Fragesteller folgende Antwort:

"This is a continuous-time Markov chain. You can think of it this way. Each particle, independent of the others, constitutes a two-state continuous-time Markov chain with rate $Prob(o→c)$ when it is in the "open" state and$Prob(c→o)$ when it is in the "closed" state. Despite the notation, these are rates, not probabilities. Each particle's probability distribution approaches the equilibrium distribution where by the principle of "detailed balance", if po and pc are the probabilities of open and closed for a particle, $Prob(o [mm] \to [/mm] c)=pc$ [mm] $P_o [/mm] = Prob(c [mm] \to [/mm] o)$. The equilibrium distribution for the system as a whole is the product measure of these Bernoulli distributions for the individual particles, so the number of open particles is Binomial with parameters po and N."


Um ehrlich zu sein sehe ich den letzten Satz einfach nicht ... also ich sehe nicht, wieso diese Differentialgleichung durch die Binomialverteilung quasi gelöst wird....


Eventuell bin ich auch einfach blind...

Ich hoffe euch geht es gut :)

LG
THomas




        
Bezug
Two state markov chain: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:14 Fr 04.09.2020
Autor: Thomas_Aut

Bitte den Fälligkeitszeitpunkt auf open end verlegen.
Es sieht nicht danach aus, als ob die Frage bei Stack Exchange weiter bearbeitet werden würde.

Und noch als Addendum zu der Frage: es ist ja nicht eine Differentialgleichung... es sind doch $N+1$ Differentialgleichungen.

Jedenfalls herzlichen Dank für etwaige Rückmeldungen

Bezug
        
Bezug
Two state markov chain: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:23 Do 17.09.2020
Autor: Thomas_Aut

Ich muss gestehen, dass mein Wissen über Markovketten wohl ein wenig eingerostet war, aber nun habe ich es wieder ein wenig aufgefrischt - also der Antwortgeber spricht vom Prinzip "detailed balance"

für eine Markovkette $X$ mit Zuständen $o,c$ bedeutet es, dass folgendes gilt:

[mm] $$\mathbb{P}(X_o) [/mm] rate[o [mm] \to [/mm] c] = [mm] \mathbb{P}(X_c) [/mm] rate[c [mm] \to [/mm] o] $$

okay - nun haben wir ja auch nur diese zwei möglichen Zustände - die Summe aller Elemente, die im Zustand offen/geschlossen sind, soll also $N$ ergeben.

Also die Anzahl der Teilchen im offenen Zustand [mm] $X_o$ [/mm] kann somit natürlich auch nur in der Menge [mm] $\{0,1,2,...,N \}$ [/mm] sein. in Summe muss jedenfalls [mm] $X_o [/mm] + [mm] X_c [/mm] = N$ gelten.

$K$ bezeichne jetzt einfach die Anzahl der Teilchen im Zustand $o$, dann besagt diese detailed balance condition, dass


$$ rate[o [mm] \to [/mm] c] (K+1) [mm] \mathbb{P}(X_o [/mm] = K+1) = rate[c [mm] \to [/mm] o](N-K) [mm] \mathbb{P}(X_o [/mm] = K)$$

und die Lösung soll die Binomialverteilung sein mit Parametern $N$ und $ [mm] \frac{rate[c \to o]}{rate[c \to o]+ rate[o \to c]}$. [/mm]

und das stimmt übrigens - also mit ein bisschen Rechenarbeit stellt sich heraus, dass

$$ rate[o [mm] \to [/mm] c] (K+1) [mm] \mathbb{P}(X_o [/mm] = K+1) = rate[c [mm] \to [/mm] o](N-K) [mm] \mathbb{P}(X_o [/mm] = K)$$ gilt,

mit $$ [mm] \mathbb{P}(X_o [/mm] = k) = [mm] \binom{N}{K} \frac{rate[c \to o]^K rate[o \to c]^{N-K}}{(rate[c \to o]+ rate[o \to c])^N}$$ [/mm]

und das Equilibrium der DGL sieht so aus

$$0 = rate[c [mm] \to [/mm] o] (N-K+1) [mm] \mathbb{P}(X_0 [/mm] = K-1) - rate[c [mm] \to o](N-K)\mathbb{P}(X_o [/mm] = K) + rate[o [mm] \to [/mm] c](K+1) [mm] \mathbb{P}(X_o [/mm] = K+1) - rate[o [mm] \to [/mm] c] K [mm] \mathbb{P}(X_o [/mm] = K)$$

und das müsste jetzt wohl das gleiche wie die "detailed balance" Bedingung sein... aber mir fehlt ein $K$ und es geht sich nicht aus - oder ich hab einfach einen Rechenfehler - kann von euch jemand bestätigen, dass gilt:

$$rate[o [mm] \to [/mm] c] (K+1) [mm] \mathbb{P}(X_o [/mm] = K+1)-rate[c [mm] \to [/mm] o](N-K) [mm] \mathbb{P}(X_o [/mm] = K)=rate[c [mm] \to [/mm] o] (N-K+1) [mm] \mathbb{P}(X_0 [/mm] = K-1) - rate[c [mm] \to o](N-K)\mathbb{P}(X_o [/mm] = K) + rate[o [mm] \to [/mm] c](K+1) [mm] \mathbb{P}(X_o [/mm] = K+1) - rate[o [mm] \to [/mm] c] K [mm] \mathbb{P}(X_o [/mm] = K)$$

wenn ja und ich keinen Denkfehler habe, dann sollte das wohl die Frage beantworten?
Gerne kann ich auch die Rechnung für die Binomialverteilung schreiben, aber das sind eigentlich nur ein paar Umformungen.

Danke und LG


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Two state markov chain: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:58 Sa 19.09.2020
Autor: Thomas_Aut

Die Frage ist erledigt - es kommt 0 heraus und sofern ich keinen Denkfehler habe, sollte das die ursprüngliche Frage ebenfalls beantworten.

LG

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Two state markov chain: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:27 Sa 19.09.2020
Autor: chrisno

Soll also die Frage als erledigt markiert werden?

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