Tschebyschev Ungleichung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein regelmäßiger Würfel wird n Mal geworfen. Dabei bezeichne [mm] \overline{X} [/mm] das arithmetische Mittel der Ergebnisse. Wie groß ist n mindestends zu wählen, damit [mm] P_{\overline{X}}(3.4 \le \overline{X} \le [/mm] 3.6) [mm] \ge [/mm] 0.9 wird, falls
(a) die TSCHEBYSCHEV-Ungleichung benutzt wird,
(b) die Approximation durch die Normalverteilung angewandt wird?
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Hallo,
für das Beispiel hab ich angenommen E(x) = n * p = [mm] n*\bruch{1}{6}
[/mm]
Var(X) = n*p*q = [mm] n*\bruch{5}{36}.
[/mm]
mit der Ungleichung
[mm] P_{X} [/mm] = [mm] (|X-\mu| \ge [/mm] a) [mm] \le \bruch{1}{\lambda^{2}} [/mm] , a = [mm] \lambda*sigma
[/mm]
[mm] P_{X} [/mm] = [mm] (|X-\mu| \ge [/mm] a) [mm] \le \bruch{1}{\lambda^{2}} \ge [/mm] 1 - [mm] P_{X}(a [/mm] - [mm] \mu [/mm] < X < a [mm] +\mu)
[/mm]
dann hab ich [mm] a+\mu [/mm] = 3.6 = [mm] \lambda*sigma [/mm] + [mm] \mu [/mm] = 1.054 * [mm] \bruch{5}{36} [/mm] * n + [mm] \bruch{n}{6} [/mm] = 3.6 gesetzt und daraus n berechnet...das Ergebnis war allerdings falsch, was vermutlich daher kommt das ich nur herumprobiert habe und mein Skriptum nicht sehr aussagekräftig ist. Vielleicht kann mir jemand einen Tipp (einen geschickten Ansatz) geben wie solche Beispiele zu Lösen sind.
mfg tom
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| Aufgabe | Ein regelmäßiger Würfel wird n Mal geworfen. Dabei
bezeichne [mm]\overline{X}[/mm] das arithmetische Mittel der
Ergebnisse. Wie groß ist n mindestends zu wählen, damit
[mm]P_{\overline{X}}(3.4 \le \overline{X} \le[/mm] 3.6) [mm]\ge[/mm] 0.9
wird, falls
(a) die TSCHEBYSCHEV-Ungleichung benutzt wird,
(b) die Approximation durch die Normalverteilung angewandt wird? |
> Hallo,
>
> für das Beispiel hab ich angenommen E(x) = n * p =
> [mm]n*\bruch{1}{6}[/mm]
> Var(X) = n*p*q = [mm]n*\bruch{5}{36}.[/mm]
Hallo Tom,
du betrachtest nicht die Zufallsgröße, die wirklich
gemeint ist. [mm] \overline{X} [/mm] ist der Mittelwert der gewürfelten
Augenzahlen. Dieser hat z.B. den Erwartungswert
[mm] E(\overline{X})=3.5 [/mm]
Was du für X genommen hast, ist (z.B.) die Anzahl der
in n Würfen gewürfelten Sechser.
Gruss
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Wenn ich [mm] E(\overline{X}) [/mm] = 3,5 habe kann ich eine Gleichung der Form
[mm] P_{X}(|X-3,5| \ge [/mm] 0,1 ) [mm] \le [/mm] 0.1
anschreiben, allerdings, versteh ich nicht wie ich das geforderte n in die Gleichung hineinbringe.
mfg tom
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> Wenn ich [mm]E(\overline{X})[/mm] = 3,5 habe kann ich eine Gleichung
> der Form
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> [mm]P_{X}(|X-3,5| \ge[/mm] 0,1 ) [mm]\le[/mm] 0.1
>
> anschreiben, allerdings, versteh ich nicht wie ich das
> geforderte n in die Gleichung hineinbringe.
>
> mfg tom
Zum Einsetzen in die Formel brauchst du natürlich auch
noch die Varianz [mm] V=\sigma^2 [/mm] bzw. die Standardabweichung [mm] \sigma.
[/mm]
Darin kommt das n vor.
LG
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> Zum Einsetzen in die Formel brauchst du natürlich auch
> noch die Varianz [mm]V=\sigma^2[/mm] bzw. die Standardabweichung
> [mm]\sigma.[/mm]
> Darin kommt das n vor.
>
> LG
Hallo,
ich habe jetzt herumgesucht/probiert, aber irgendwie finde ich nicht heraus, wie ich auf die Varianz komme, und wie ich mit der Varianz das n in meine Gleichung bringe. Bzw hab ich es jetzt auf nicht mehr geschafft mit der Normalverteilung das ganze zu berechnen, irgendwie bin ich verwirrt. Wäre nett wenn ich noch einen Tipp erhalten könnte.
mfg Tom
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> Hallo,
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> ich habe jetzt herumgesucht/probiert, aber irgendwie finde
> ich nicht heraus, wie ich auf die Varianz komme, und wie
> ich mit der Varianz das n in meine Gleichung bringe. Bzw
> hab ich es jetzt auf nicht mehr geschafft mit der
> Normalverteilung das ganze zu berechnen, irgendwie bin ich
> verwirrt. Wäre nett wenn ich noch einen Tipp erhalten
> könnte.
hallo Tom,
1.) Betrachte zuerst den einmaligen Wurf eines Würfels.
X sei die erzielte Augenzahl. Berechne den Erwartungswert
E(X)= [mm] \mu [/mm] (der ist natürlich auch 3.5) , die Varianz
[mm] V(X)=\bruch{1}{6}*\summe_{i=1}^{6}(i-\mu)^2
[/mm]
und die Standardabweichung [mm] \sigma=\wurzel{V(X)}
[/mm]
2.) Dann: n-mal würfeln, [mm] S_n= [/mm] Summe der Augenzahlen.
Berechne wieder Erwartungswert [mm] E(S_n) [/mm] , Varianz [mm] V(S_n) [/mm] und
Standardabweichung [mm] \sigma_n=\wurzel{ V(S_n)}
[/mm]
Beachte, dass hier gilt: Die Varianz der Summe unabhängiger (!)
Zufallsgrößen ist gleich der Summe der Einzelvarianzen
der beteiligten Summanden.
3.) Nächste Frage: Wie berechnen sich Erwartungswert [mm] E(\overline{X}) [/mm]
und Standardabweichung [mm] \sigma_{\overline{X}} [/mm] aus [mm] E(S_n) [/mm] und [mm] \sigma_n [/mm] ?
ich denke, das sollte helfen
LG
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hallo,
> 1.) Betrachte zuerst den einmaligen Wurf eines Würfels.
> X sei die erzielte Augenzahl. Berechne den Erwartungswert
> E(X)= [mm]\mu[/mm] (der ist natürlich auch 3.5) , die Varianz
>
> [mm]V(X)=\bruch{1}{6}*\summe_{i=1}^{6}(i-\mu)^2[/mm]
>
> und die Standardabweichung [mm]\sigma=\wurzel{V(X)}[/mm]
E(x) = 3.5 , V(X) = 2,917
> 2.) Dann: n-mal würfeln, [mm]S_n=[/mm] Summe der Augenzahlen.
> Berechne wieder Erwartungswert [mm]E(S_n)[/mm] , Varianz [mm]V(S_n)[/mm]
> und
> Standardabweichung [mm]\sigma_n=\wurzel{ V(S_n)}[/mm]
[mm] E(S_{n}) [/mm] = 3.5 * n.
[mm] V(S_{n}) [/mm] = V(X) * n
>
> 3.) Nächste Frage: Wie berechnen sich Erwartungswert
> [mm]E(\overline{X})[/mm]
> und Standardabweichung [mm]\sigma_{\overline{X}}[/mm] aus [mm]E(S_n)[/mm] und
> [mm]\sigma_n[/mm] ?
>
[mm] E(\overline{X}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] E(S_{n}) [/mm] = 3.5
[mm] V(\overline{X}) [/mm] = [mm] \bruch{V(X)}{n} [/mm] ... diese Formel hab ich aus dem Skriptum, weiß aber nicht wie sie zu stande kommt.
[mm] V(\overline{X}) [/mm] = [mm] \bruch{2.917}{n}
[/mm]
damit ergibt sich durch ermitteln der Werte aus der Ungleichung ein n [mm] \ge [/mm] 2917. Was laut lösung stimmt
Als nächstes sollte das ganze noch mit der Normalverteilung berechnet werden, aber ehrlichgesagt weiß ich nicht wie ich da ansetzen soll.
P(3.4 [mm] \le \overline{X} \le [/mm] 3.6) [mm] \ge [/mm] 0.9
Ich hätte mit [mm] \bruch{3.6-3.5}{\wurzel{\bruch{2.917}{n}}} [/mm] = Φ(0.9) gerechnet, um sozusagen eine Obergrenze für n zu finden.
Das funktioniert so aber nicht. Vl hast du noch einen Hinweis parat, der mir weiterhilft
mfg tom
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> Als nächstes sollte das ganze noch mit der Normalverteilung
> berechnet werden, aber ehrlichgesagt weiß ich nicht wie ich
> da ansetzen soll.
>
> P(3.4 [mm]\le \overline{X} \le[/mm] 3.6) [mm]\ge[/mm] 0.9
>
> Ich hätte mit [mm]\bruch{3.6-3.5}{\wurzel{\bruch{2.917}{n}}}=\Phi(0.9)[/mm] gerechnet, um sozusagen eine Obergrenze für n
> zu finden.
> Das funktioniert so aber nicht.
Hallo Tom,
du musst dies nicht gleich [mm] \Phi(0.9) [/mm] setzen, sondern gleich [mm] \Phi(0.95).
[/mm]
Denk an die beidseitigen Bereiche, in welchen [mm] |\overline{X}|\ge [/mm] 0.9 ist !
LG Al
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Hallo,
tut mir leid wenn ich jetzt noch mal fragen muss, aber ich hab das jetzt garnicht verstanden wieso nicht 0.9 sondern 0.95 verwendet werden muss. bzw hab ich auf mit 0.95 nicht die Lösung (n [mm] \ge [/mm] 790 ) errechnet.
mfg tom
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> Hallo,
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> tut mir leid wenn ich jetzt noch mal fragen muss, aber ich
> hab das jetzt garnicht verstanden wieso nicht 0.9 sondern
> 0.95 verwendet werden muss. bzw hab ich auf mit 0.95 nicht
> die Lösung (n [mm]\ge[/mm] 790 ) errechnet.
>
> mfg tom
Also, wir haben bei n Würfen [mm] \sigma=\wurzel{\bruch{35}{12*n}} [/mm] (1)
Setzen wir [mm] 0.1=k*\sigma [/mm] (2)
so ist
$\ [mm] P(3.4<\overline{X}<3.6)=P(E-k*\sigma<\overline{X}
Setzen wir dies (für den Grenzfall) gleich 0.9, so haben wir
[mm] \Phi(k)-\Phi(-k)=0.9
[/mm]
Wegen [mm] \Phi(-k)=1-\Phi(k) [/mm] führt dies auf
[mm] \Phi(k)-(1-\Phi(k))=0.9
[/mm]
[mm] 2*\Phi(k)-1=0.9
[/mm]
[mm] 2*\Phi(k)=1.9
[/mm]
[mm] \Phi(k)=0.95
[/mm]
Daraus bestimmt man (z.B. mittels Tabelle) den Wert von k
und dann daraus mittels (2) den von [mm] \sigma [/mm] und schliesslich
mit (1) die Anzahl n der Würfe. Es ergibt sich für n zunächst
ein Wert zwischen 789 und 790. Natürlich muss man dann
als ganzzahligen Mindestwert n=790 nehmen.
Man sieht, dass diese Abschätzung viel schärfer ist als die
nach der Formel von Tschebyscheff (die nicht auf einer so
starken Annahme wie der Normalverteilung der betrachteten
Zufallsvariablen beruht).
LG
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