Tschebychew < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Fr 10.10.2014 | | Autor: | Bane77 |
| Aufgabe | Für die Zufallsvariablen $ [mm] X_{1},...,X_{9} [/mm] $ gilt
$ [mm] \mathcal{V}(X_{i})= [/mm] 2 $ und $ Cov [mm] (X_{i},X_{j})= [/mm] 1 $ mit i [mm] \not= [/mm] j
Schätze die Wkeit für das Ereignis, dass die Summe [mm] S_{9} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{9} X_{i} [/mm] weiter als 10 von ihrem EW entfernt ist mithilfe der Tschebychewungleichung nach oben ab. |
$ [mm] \mathbb{P}(|45-\mathbb{E}(X_{i})|\ge\10)\le\frac{\mathbb{V}(X_{i})}{10^2}. [/mm] $
Bis dahin ist ja nicht schwer. Aber was ist mit der Varianz?
[mm] $\mathcal{V}(X_{i})= [/mm] 2$
[mm] $\mathcal{V}(\summe_{i=1}^{9}X_{i})$
[/mm]
$= [mm] \summe_{i=1}^{9}\mathcal{V}(X_{i})$
[/mm]
= 18?
und was soll ich mit der Covarianz?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Für die Zufallsvariablen [mm]X_{1},...,X_{9}[/mm] gilt
> [mm]\mathcal{V}(X_{i})= 2[/mm] und [mm]Cov (X_{i},X_{j})= 1[/mm] mit i [mm]\not=[/mm]
> j
> Schätze die Wkeit für das Ereignis, dass die Summe [mm]S_{9}[/mm]
> = [mm]\summe_{i=1}^{9} X_{i}[/mm] weiter als 10 von ihrem EW
> entfernt ist mithilfe der Tschebychewungleichung nach oben
> ab.
>
> [mm]\mathbb{P}(|45-\mathbb{E}(X_{i})|\ge\10)\le\frac{\mathbb{V}(X_{i})}{10^2}.[/mm]
>
Woher kommen die 45? Du sollst untersuchen wie sich
[mm] $P\left(\left|S_{9}-E\left(S_{9}\right)\right|>10\right)$
[/mm]
nach oben durch die Tschbycheff-Ungleichung abschätzen lässt. Es gilt ja
[mm] $P\left(\left|S_{9}-E\left(S_{9}\right)\right|>10\right)\leq\frac{1}{10^2}\cdot Var\left(S_{9}\right)$
[/mm]
> Bis dahin ist ja nicht schwer. Aber was ist mit der
> Varianz?
> [mm]\mathcal{V}(X_{i})= 2[/mm]
> [mm]\mathcal{V}(\summe_{i=1}^{9}X_{i})[/mm]
Du darfst die Varianz nicht einfach in die Summe ziehen, dass funktioniert nur bei unkorrelierten Zufallsvariablen. Sind deine [mm] $X_{i}$ [/mm] unkorreliert?
> [mm]= \summe_{i=1}^{9}\mathcal{V}(X_{i})[/mm]
> = 18?
>
> und was soll ich mit der Covarianz?
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Berechne die Varianz von der ZV [mm] $\sum\limits_{i=1}^{9}X_{i}$ [/mm] richtig!
Viele Grüße
Blasco
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Fr 10.10.2014 | | Autor: | Bane77 |
Hallo,
> Woher kommen die 45?
ah sry vertan,
Du sollst untersuchen wie sich
> [mm]P\left(\left|S_{9}-E\left(S_{9}\right)\right|>10\right)[/mm]
> nach oben durch die Tschbycheff-Ungleichung abschätzen
> lässt. Es gilt ja
>
> [mm]P\left(\left|S_{9}-E\left(S_{9}\right)\right|>10\right)\leq\frac{1}{10^2}\cdot Var\left(S_{9}\right)[/mm]
>
> > Bis dahin ist ja nicht schwer. Aber was ist mit der
> > Varianz?
> > [mm]\mathcal{V}(X_{i})= 2[/mm]
> >
> [mm]\mathcal{V}(\summe_{i=1}^{9}X_{i})[/mm]
> Du darfst die Varianz nicht einfach in die Summe ziehen,
> dass funktioniert nur bei unkorrelierten Zufallsvariablen.
> Sind deine [mm]X_{i}[/mm] unkorreliert?
Nein :(
V(S)=(S-E(S))² = E(S²) - E(S)² = 2 wie komm ich da weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Fr 10.10.2014 | | Autor: | Bane77 |
achso stimmt, das gilt ja nur für V(Xi).... :/
wie mach ich denn dann weiter?
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Hallo,
dieAcht hat dir in seinem letzten Post den Tipp gegeben, dass du mal bei Wiki schauen sollst, wie man die Varianz von einer Summe von Zufallsvariablen ausrechnet.
Viele Grüße
Blasco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Fr 10.10.2014 | | Autor: | Bane77 |
Oh, das habe ich überlesen.
Also ist das Ergebnis:
$ [mm] \mathbb{P}(|S_{9}-\mathbb{E}(S_{9})|\ge\ 10)\le\frac{3}{10^2}= [/mm] 0,03. $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Fr 10.10.2014 | | Autor: | blascowitz |
Hallo,
wie kommst du auf 3 als Ergebnis?
Wenn du den Artikel gelesen hast, den dir dieAcht empfohlen hat, dann weißt du jetzt, dass
[mm] $Var\left(\sum\limits_{i=1}^{9}X_{i}\right)=\sum\limits_{i=1}^{9}Var\left(X_{i}\right)$+\sum\limits_{i\not=j}Cov\left(X_{i},X_{j}\right)$ [/mm]
ist.
Überprüfe nochmal deine Rechnung. Falls etwas unklar ist, überprüfen wir gerne auch den Rechenweg :)
Viele Grüße
Blasco
Die
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Fr 10.10.2014 | | Autor: | Bane77 |
Hallo,
ok, dann kann man das wohl nicht so machen... :/
> [mm]$Var\left(\sum\limits_{i=1}^{9}X_{i}\right)=\sum\limits_{i=1}^{9}Var\left(X_{i}\right)$+\sum\limits_{i\not=j}Cov\left(X_{i},X_{j}\right) = \sum\limits_{i=1}^{9}2\right)$+\sum\limits_{i\not=j}\left1\right =3 $[/mm]
oder ist das dann 9*Var +1 =19?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Fr 10.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
[mm]$Var\left(\sum\limits_{i=1}^{9}X_{i}\right)=\sum\limits_{i=1}^{9}Var\left(X_{i}\right)$+\sum\limits_{i\not=j}Cov\left(X_{i},X_{j}\right) = \sum\limits_{i=1}^{9}2\right)$+\sum\limits_{i\not=j}\left1\right =3 $[/mm]
>
> oder ist das dann 9*Var +1 =19?
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Bei mir ist allein schon
[mm] \sum_{i=1}^{9}2=18.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Fr 10.10.2014 | | Autor: | Bane77 |
also kommt dann insgesamt 19 raus ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Fr 10.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> also kommt dann insgesamt 19 raus ?
Nein, berechne nochmal in Ruhe
[mm] \sum_{i\not=j}^{9}Cov(X_i,X_j).
[/mm]
Was studierst du eigentlich? Bist du wirklich im Hauptstudium?
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 Fr 10.10.2014 | | Autor: | Bane77 |
ich habs nicht so mit summen...
da stand keine begrenzung von der summe, dewegen hab ich da die 9 unterschlagen. Dann sind es natürlich 27.
Danke für die Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:39 Fr 10.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Bane77!
> ich habs nicht so mit summen...
>
> da stand keine begrenzung von der summe, dewegen hab ich da
> die 9 unterschlagen. Dann sind es natürlich 27.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Der Ausdruck
[mm] $\sum_{i\not=j}Cov(X_i,X_j)$
[/mm]
ist hier eine Kurzschreibweise dafür, dass für jedes Paar $(i,j)$ mit [mm] $i,j\in\{1,\ldots,9\}$ [/mm] und [mm] $i\not=j$ [/mm] die Kovarianz von [mm] $X_i$ [/mm] und [mm] $X_j$ [/mm] (also die Zahl 1) addiert wird.
Wie viele solche Paare $(i,j)$ gibt es?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Fr 10.10.2014 | | Autor: | Bane77 |
12?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:57 Fr 10.10.2014 | | Autor: | Bane77 |
ne 8 :D
und dann müsst ich noch mal 2 nehmen oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Fr 10.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> ne 8 :D
>
> und dann müsst ich noch mal 2 nehmen oder?
Nein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Fr 10.10.2014 | | Autor: | Bane77 |
[mm] \operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)= \sum_{i,j=1}^n \operatorname{Cov}(X_i,X_j) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i) [/mm] + [mm] \sum_{i \neq j} \operatorname{Cov}(X_i,X_j) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i)+2\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n\operatorname{Cov}(X_i,X_j). [/mm]
also starte ich mit i doch bei 1 bis 8 und bei j mit 2 bis 9, dann komme ich auf 8 Paare und die muss ich dann noch mit 2 multiplizieren.
wieso ist das falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Fr 10.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)= \sum_{i,j=1}^n \operatorname{Cov}(X_i,X_j)[/mm]
> = [mm]\sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i)[/mm] + [mm]\sum_{i \neq j} \operatorname{Cov}(X_i,X_j)[/mm]
> = [mm]\sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i)+2\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n\operatorname{Cov}(X_i,X_j).[/mm]
Ja, dies gilt für quadratisch integrierbare Zufallsgrößen [mm] $X_1,\ldots,X_n$.
[/mm]
Beachte, dass i und j bei den verschiedenen Summen über unterschiedliche Werte laufen.
Die verschiedenen Summen haben so auch verschiedene Anzahlen an Summanden.
Du möchtest also offensichtlich nun [mm] $2\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n\operatorname{Cov}(X_i,X_j)$ [/mm] für die Situation unserer Aufgabe ($n=9$, [mm] $Cov(X_i,X_j)=1$ [/mm] für [mm] $i\not=j$) [/mm] bestimmen.
Dazu fragst du dich zunächst, aus wie vielen Summanden die Doppelsumme [mm] $\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n\operatorname{Cov}(X_i,X_j)$ [/mm] besteht.
> also starte ich mit i doch bei 1 bis 8
Ja.
> und bei j mit 2 bis
> 9,
Nein.
Für $i=1$ läuft $j$ von $2$ bis $9$ ($8$ Summanden).
Für $i=2$ läuft $j$ nur von $3$ bis $9$ (weitere $7$ Summanden).
Für $i=3$ ...
...
> dann komme ich auf 8 Paare
Wie das?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Fr 10.10.2014 | | Autor: | Bane77 |
uff, ok, dann sind das jetzt 36 ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 Fr 10.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> uff, ok, dann sind das jetzt 36 ...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Genau, die Doppelsumme [mm] $\sum_{i=1}^{9-1}\sum_{j=i+1}^9\operatorname{Cov}(X_i,X_j)$ [/mm] hat genau 8+7+6+5+4+3+2+1=36 Summanden.
(Einfacher wäre es gewesen, die Anzahl der Summanden in [mm] $\sum_{i\not=j}Cov(X_i,X_j)$ [/mm] zu bestimmen (also die Anzahl der Paare (i,j) mit [mm] $i,j\in\{1,\ldots,9\}$ [/mm] und [mm] $i\not=j$): [/mm] Es sind $9*8=72$, denn es gibt hier $9$ mögliche Werte für $i$ und bei jeder Wahl von $i$ dann noch 8 mögliche Werte für $j$.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:46 Fr 10.10.2014 | | Autor: | Bane77 |
achso stimmt :)
Vielen Dank :)
Dann kommen wir auf ein Endergebnis von 0,9
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Fr 10.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Dann kommen wir auf ein Endergebnis von 0,9
Darauf komme ich auch als obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit aus der Aufgabenstellung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Sa 11.10.2014 | | Autor: | Bane77 |
| Aufgabe | Hallo Tobit,
Wie wäre das eigentlich, wenn ich die Aufgabe nicht mit Tschebychew sondern mit dem Zentralen Grenzwert lösen will?
also [mm] X_{1},...X_{n} [/mm] i.i.d. und Var(x)=1
Die Summe soll diesmal mehr als 5 vom EW entfernt sein. [mm] \phi [/mm] (1.66) = 90% |
also gesucht ist
[mm] \mathcal{P}(S__{9} \ge [/mm] 5)
= [mm] \mathcal{P} (\bruch{S__{9} - 9 \mu}{\wurzel{9}\sigma})\ge \bruch{5 - 9 \mu}{\wurzel{9}\sigma} [/mm]
= [mm] \mathcal{P} (\bruch{S__{9} - 9 \mu}{3})\ge \bruch{5 - 9 \mu}{3} [/mm]
wie komm ich dann weiter?
also [mm] \mu [/mm] müsste ja 0 sein, dann komm ich auf die 1.66
Kannst du mir helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:13 So 12.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Wie wäre das eigentlich, wenn ich die Aufgabe nicht mit
> Tschebychew sondern mit dem Zentralen Grenzwert lösen
> will?
>
> also [mm]X_{1},...X_{n}[/mm] i.i.d. und Var(x)=1
> Die Summe soll diesmal mehr als 5 vom EW entfernt sein.
> [mm]\phi[/mm] (1.66) = 90%
Bitte poste die vollständige Aufgabenstellung wörtlich.
Vorher kann ich leider nicht sinnvoll helfen.
Falls [mm] $\phi$ [/mm] die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilungsfunktion bezeichnen soll, stimmt [mm] $\phi(1.66)\approx90\%$ [/mm] nicht.
> also gesucht ist
> [mm]\mathcal{P}(S__{9} \ge[/mm] 5)
Ist $n=9$?
Gesucht ist vermutlich [mm] $P(|S_n-ES_n|>5)$.
[/mm]
> = [mm]\mathcal{P} (\bruch{S__{9} - 9 \mu}{\wurzel{9}\sigma})\ge \bruch{5 - 9 \mu}{\wurzel{9}\sigma}[/mm]
Das Zeichen $)$ steht an der falschen Stelle.
Erkläre, was du mit [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\sigma$ [/mm] meinst.
> = [mm]\mathcal{P} (\bruch{S__{9} - 9 \mu}{3})\ge \bruch{5 - 9 \mu}{3}[/mm]
> also [mm]\mu[/mm] müsste ja 0 sein, dann komm ich auf die 1.66
Warum sollte [mm] $\mu=0$ [/mm] gelten?
Ich kenne mich nicht aus, unter welchen Umständen eine Normalapproximation bei nicht notwendig binomialverteilten Zufallsgrößen sinnvoll ist.
Z.B. für $n=1$ wäre sie es hier sicher nicht.
Der Beweis einer oberen Schranke für eine Wahrscheinlichkeit lässt sich mit einer solchen Approximation vermutlich nicht erbringen.
Spricht etwas dagegen, erneut Tschebyscheff zu verwenden?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:48 So 12.10.2014 | | Autor: | Bane77 |
Hallo Tobit09,
> Bitte poste die vollständige Aufgabenstellung wörtlich.
> Vorher kann ich leider nicht sinnvoll helfen.
" Andere ZVen [mm] Y_{1},...,Y_{9} [/mm] seien i.i.d. mit Varianz 1. Approximiere die Wkeit für das Ereignis, dass
[mm] S_9 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{9} Y_{i} [/mm] mehr als 5 vom EW enfernt ist mithilfe des ZGWS. [mm] \phi [/mm] (1.66)=90% "
Wenn ich dann den ZGWS anwende, erhalte ich doch
[mm] \mathcal{P}(S__{9} \ge [/mm] 5)= [mm] \mathcal{P} (\bruch{S__{9} - 9 \mu}{3}\ge \bruch{5 - 9 \mu}{3}) [/mm]
wenn das mit n gegen unendlich gegen [mm] \phi(1.66) [/mm] konvergieren soll, muss [mm] \mu=0 [/mm] sein, da 5/3 [mm] \approx [/mm] 1,66 aber warum weiß ich auch nicht, wenn es keine S-Normalverteilung ist mit (0,1)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 So 12.10.2014 | | Autor: | Bane77 |
Die Varianz 1 bezieht sich doch auf die [mm] Y_{i} [/mm] oder?
und sie sind identisch zu den [mm] X_{i} [/mm] verteilt.
Hab ich das richtig verstanden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:12 Mo 13.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Die Varianz 1 bezieht sich doch auf die [mm]Y_{i}[/mm] oder?
Ja.
> und sie sind identisch zu den [mm]X_{i}[/mm] verteilt.
> Hab ich das richtig verstanden?
Nein. (Die [mm] $X_i$ [/mm] hatten Varianz 2, die [mm] $Y_i$ [/mm] haben Varianz 1.)
[mm] "$Y_1,\ldots,Y_9$ [/mm] i.i.d." bedeutet "die Familie der [mm] $Y_1,\ldots,Y_9$ [/mm] ist stochastisch unabhängig und die Zufallsgrößen [mm] $Y_1,\ldots,Y_9$ [/mm] besitzen untereinander alle die gleiche Verteilung".
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:16 Mo 13.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> " Andere ZVen [mm]Y_{1},...,Y_{9}[/mm] seien i.i.d. mit Varianz 1.
> Approximiere die Wkeit für das Ereignis, dass
> [mm]S_9[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{9} Y_{i}[/mm] mehr als 5 vom EW enfernt ist
> mithilfe des ZGWS. [mm]\phi[/mm] (1.66)=90% "
Danke.
Was bedeutet [mm] $\phi$ [/mm] bei euch?
Soll [mm] $\phi$ [/mm] die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnen?
Dann gilt [mm] $\phi(1,66)\approx95\%$.
[/mm]
Es geht jetzt also nicht um Abschätzung, sondern um Approximation (wobei ich mir unsicher bin, ob diese Approximation bei nur 9 Zufallsgrößen sinnvoll ist).
> Wenn ich dann den ZGWS anwende, erhalte ich doch
>
> [mm]\mathcal{P}(S__{9} \ge[/mm] 5)
Gesucht ist nicht [mm] $P(S_9\ge [/mm] 5)$, sondern [mm] $P(|S_9-ES_9|>5)$.
[/mm]
> = [mm]\mathcal{P} (\bruch{S__{9} - 9 \mu}{3}\ge \bruch{5 - 9 \mu}{3})[/mm]
Du meinst offenbar: [mm] $\mu:=EY_1$.
[/mm]
> wenn das mit n gegen unendlich gegen [mm]\phi(1.66)[/mm]
> konvergieren soll,
Das tut es im Allgemeinen nicht.
> muss [mm]\mu=0[/mm] sein, da 5/3 [mm]\approx[/mm] 1,66
> aber warum weiß ich auch nicht, wenn es keine
> S-Normalverteilung ist mit (0,1)
Gesucht ist wie gesagt [mm] $P(|S_9-ES_9|>5)$.
[/mm]
Sei [mm] $s:=\wurzel(Var(S_9))=\ldots>0$.
[/mm]
Es gilt
[mm] $P(|S_9-ES_9|>5)=P(\frac{|S_9-ES_9|}{s}>\frac{5}{s})=P(|Z|>c)=P(\{Z<-c\}\cup\{Z>c\})=P(Z\in(-\infty,-c))+P(Z\in(c,\infty))=P^Z((-\infty,c))+P^Z((c,\infty))$
[/mm]
mit [mm] $Z:=\frac{S_9-ES_9}{s}$ [/mm] und [mm] $c:=\frac{5}{s}$.
[/mm]
Argumentiere nun mit dem ZGWS (Wie habt ihr ihn genau formuliert?), dass es sinnvoll sei, $Z$ als näherungsweise standardnormalverteilt anzunehmen.
In diesem Sinne gilt dann
[mm] $P^Z((-\infty,c))+P^Z((c,\infty))\approx N((-\infty,c))+N((c,\infty))$,
[/mm]
wobei $N$ die Standardnormalverteilung bezeichne.
Unter Berücksichtigung der Symmetrie der Standardnormalverteilung gilt weiter
[mm] $N((-\infty,c))+N((c,\infty))=N(-(-\infty,c))+N((c,\infty))=N((c,\infty))+N((c,\infty))=2*N((c,\infty))$.
[/mm]
WENN [mm] $\phi$ [/mm] bei euch tatsächlich die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet, berechnet sich [mm] $N((c,\infty))$ [/mm] zu
[mm] $N((c,\infty))=N(\IR\setminus(-\infty,c])=N(\IR)-N((-\infty,c])=1-\phi(c)$.
[/mm]
Insgesamt haben wir also:
[mm] $P(|S_9-ES_9|>5)\approx 2*(1-\phi(c))$.
[/mm]
Berechne nun $s$ (unter Berücksichtigung der stochastischen Unabhängigkeit von [mm] $Y_1,\ldots,Y_9$), [/mm] damit $c$ und schließlich den Näherungswert für [mm] $P(|S_0-ES_9|>5)$.
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Fr 10.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> 12?
Nein, wie kommst du auf diese Zahl?
Wir suchen die Anzahl der Paare $(i,j)$ mit [mm] $i,j\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ [/mm] mit [mm] $i\not=j$.
[/mm]
Ich schreibe mal ein paar solche Paare auf:
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(1,7)
(1,8)
(1,9)
(2,1)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(2,7)
(2,8)
(2,9)
(3,1)
...
usw.
Wie viele solche Paare mit $i=1$ gibt es?
Wie viele solche Paare mit $i=2$ gibt es?
Wie viele solche Paare mit $i=3$ gibt es?
...
Wie viele solche Paare mit $i=9$ gibt es?
Wie viele Paare sind es also insgesamt?
Alternativer Weg:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, ein [mm] $i\in\{1,\ldots,9\}$ [/mm] zu wählen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es nach der Wahl von $i$, ein [mm] $j\in\{1,\ldots,9\}$ [/mm] mit [mm] $j\not=i$ [/mm] zu wählen?
Also?
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Varianz von Summen von Zufallsvariablen