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Trigonometrische Gleichung: 4 Lösungen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:20 So 15.12.2013
Autor: sonic5000

Hallo,

folgende Funktion soll auf waagerechte und senkrechte Tangenten überprüft werden:

[mm] r=\wurzel{cos(2\phi)} [/mm]

Zuerst bringe ich die Funktion in Parameterform:

[mm] x=\wurzel{cos(2\phi)}*cos(\phi) [/mm]

[mm] y=\wurzel{cos(2\phi)}*sin(\phi) [/mm]

Nun kann ich die Funktion ableiten:

[mm] y'=\bruch{-\bruch{sin(2\phi)*sin(\phi)}{\wurzel{cos(2\phi)}}+cos(\phi)*\wurzel{cos(2\phi)}}{-\bruch{sin(2\phi)*sin(\phi)}{\wurzel{cos(2\phi)}}-sin(\phi)*\wurzel{cos(2\phi)}} [/mm]

Um nun zu ermitteln wo die waagerechten Tangenten liegen setze ich die Ableitung gleich null. Dies ist genau dann wenn der Zähler gleich null ist...
Also:

[mm] -\bruch{sin(2\phi)*sin(\phi)}{\wurzel{cos(2\phi)}}+cos(\phi)*\wurzel{cos(2\phi)}=0 [/mm]

Nach Eliminieren des Nenners und Anwenden des Additionstheorems komme ich auf:

[mm] cos(3\phi)=0 [/mm]

[mm] \phi=\bruch{arccos(0)}{3}=\bruch{\pi}{6} [/mm]

Nun gibt es aber 4 waagerechte Tangenten zu der Kurve... Wie komme ich auf die anderen drei Tangenten? Marcel hatte mir das schonmal erklärt...Zum Verfahren hat er mir einen Link auf den Wikipediaartikel zu den Arkusfunktionen gesendet... Leider habe ich es daraus nicht entnehmen können... Kann mir bitte einer den rechnerischen Weg für die drei anderen Tangenten aufzeigen?

LG und besten Dank im Voraus...








        
Bezug
Trigonometrische Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:38 So 15.12.2013
Autor: MathePower

Hallo sonic5000,

> Hallo,
>  
> folgende Funktion soll auf waagerechte und senkrechte
> Tangenten überprüft werden:
>  
> [mm]r=\wurzel{cos(2\phi)}[/mm]
>  
> Zuerst bringe ich die Funktion in Parameterform:
>  
> [mm]x=\wurzel{cos(2\phi)}*cos(\phi)[/mm]
>  
> [mm]y=\wurzel{cos(2\phi)}*sin(\phi)[/mm]
>  
> Nun kann ich die Funktion ableiten:
>  
> [mm]y'=\bruch{-\bruch{sin(2\phi)*sin(\phi)}{\wurzel{cos(2\phi)}}+cos(\phi)*\wurzel{cos(2\phi)}}{-\bruch{sin(2\phi)*sin(\phi)}{\wurzel{cos(2\phi)}}-sin(\phi)*\wurzel{cos(2\phi)}}[/mm]
>  
> Um nun zu ermitteln wo die waagerechten Tangenten liegen
> setze ich die Ableitung gleich null. Dies ist genau dann
> wenn der Zähler gleich null ist...
>  Also:
>  
> [mm]-\bruch{sin(2\phi)*sin(\phi)}{\wurzel{cos(2\phi)}}+cos(\phi)*\wurzel{cos(2\phi)}=0[/mm]
>  
> Nach Eliminieren des Nenners und Anwenden des
> Additionstheorems komme ich auf:
>  
> [mm]cos(3\phi)=0[/mm]
>  
> [mm]\phi=\bruch{arccos(0)}{3}=\bruch{\pi}{6}[/mm]
>  
> Nun gibt es aber 4 waagerechte Tangenten zu der Kurve...
> Wie komme ich auf die anderen drei Tangenten? Marcel hatte
> mir das schonmal erklärt...Zum Verfahren hat er mir einen
> Link auf den Wikipediaartikel zu den Arkusfunktionen
> gesendet... Leider habe ich es daraus nicht entnehmen
> können... Kann mir bitte einer den rechnerischen Weg für
> die drei anderen Tangenten aufzeigen?
>  


Berücksichtige die Periodizität der Lösungen:

Aus [mm]cos(3\phi)=0[/mm]

folgt doch zunächst

[mm]3\phi=\bruch{\pi}{2}+k*\pi, \ k \in \IZ[/mm]

Zu beachten ist hier, daß [mm]cos(2\phi)>0[/mm] sein muss.


> LG und besten Dank im Voraus...
>  


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
Trigonometrische Gleichung: wurzelfunktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:01 Mo 16.12.2013
Autor: sonic5000

Hallo,

gesucht ist die Definitionsmenge folgender Kurvengleichung in Polarkoordinaten:

[mm] r=\wurzel{cos(2\phi} [/mm]

Mein Ansatz:

[mm] D=[0,\bruch{\pi}{4}]\wedge[\bruch{3\pi}{4},\pi] [/mm]

Ist das richtig? Wie bringe ich jetzt noch die Periodizitat ein?

Lg und besten Dank im Voraus...

Bezug
                
Bezug
Trigonometrische Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:05 Mo 16.12.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo,

>

> gesucht ist die Definitionsmenge folgender Kurvengleichung
> in Polarkoordinaten:

>

> [mm]r=\wurzel{cos(2\phi}[/mm]

>

> Mein Ansatz:

>

> [mm]D=[0,\bruch{\pi}{4}]\wedge[\bruch{3\pi}{4},\pi][/mm]

>

> Ist das richtig?

Das ist für die Primitivperiode von 0 bis [mm] \pi [/mm] richtig.

> Wie bringe ich jetzt noch die Periodizitat

> ein?

Na ja, auf dem üblichen Weg. Sei [mm] k\in\IZ, [/mm] und dann [mm] k*\pi geeignet [/mm] dazuaddiert...

Gruß, Diophant

Bezug
                        
Bezug
Trigonometrische Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:33 Mo 16.12.2013
Autor: sonic5000

Das würde bedeuten:

[mm] D=[0+\pi*k,\bruch{\pi}{4}+\pi*k]\wedge[\bruch{3\pi}{4}+\pi*k,\pi+\pi*k] [/mm]

Ist die Notation so in Ordnung?

LG

Bezug
                                
Bezug
Trigonometrische Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:22 Mo 16.12.2013
Autor: MathePower

Hallo sonic5000,

> Das würde bedeuten:
>  
> [mm]D=[0+\pi*k,\bruch{\pi}{4}+\pi*k]\wedge[\bruch{3\pi}{4}+\pi*k,\pi+\pi*k][/mm]
>  
> Ist die Notation so in Ordnung?
>


Ja.


> LG


Gruss
MathePower

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